Nombre d'or

Résumé

vignette|upright=1.2|La proportion définie par a et b est dite d'« extrême et moyenne raison » lorsque a est à b ce que est à a, soit : lorsque Le rapport a/b est alors égal au nombre d'or \varphi (phi). Le nombre d'or (ou section dorée, proportion dorée, ou encore divine proportion) est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport a/b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b), ce qui s'écrit : \frac{a+b}a=\frac ab avec \frac ab = \varphi Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ». Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ ou \varphi (phi), et il est lié à l'angle d'or. Ce nombre irrationnel est l'uni

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d'or

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Ce cours traite des 3 sujets suivants : la perspective, la géométrie descriptive, et une initiation à la géométrie projective.

Le cours étudie les concepts fondamentaux de l'analyse complexe et de l'analyse de Laplace en vue de leur utilisation pour résoudre des problèmes pluridisciplinaires d'ingénierie scientifique.

Ce cours vise à transférer les concepts théoriques et les savoir-faire nécessaires à la réalisation de mesures de bonne qualité. Les contenus méthodologiques et technologiques seront exposés sous forme ex-cathedra et les savoir-faire seront entrainés lors des travaux pratiques.

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Many-body localization in a fragmented Hilbert space

Loïc Jean Pierre Herviou

We study many-body localization (MBL) in a pair-hopping model exhibiting strong fragmentation of the Hilbert space. We show that several Krylov subspaces have both ergodic statistics in the thermodynamic limit and a dimension that scales much slower than the full Hilbert space but still exponentially. Such a property allows us to study the MBL phase transition in systems including up to 64 spins. The different Krylov spaces that we consider show clear signatures of a many-body localization transition, both in the Kullback-Leibler divergence of the distribution of their level spacing ratio and their entanglement properties. However, they also present distinct scalings with the system size. Depending on the subspace, the critical disorder strength can be nearly independent of the system size or conversely show an approximately linear increase with the number of spins.

2021

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Effective multi-scale approach to the Schrödinger cocycle over a skew shift base

Rui Han, Marius Christopher Lemm

We prove a conditional theorem on the positivity of the Lyapunov exponent for a Schrödinger cocycle over a skew shift base with a cosine potential and the golden ratio as frequency. For coupling below 1, which is the threshold for Herman's subharmonicity trick, we formulate three conditions on the Lyapunov exponent in a finite but large volume and on the associated large deviation estimates at that scale. Our main results demonstrate that these finite-size conditions imply the positivity of the infinite volume Lyapunov exponent. This paper shows that it is possible to make the techniques developed for the study of Schrödinger operators with deterministic potentials, based on large deviation estimates and the avalanche principle, effective.

2018

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A (2+epsilon)-Approximation Algorithm for Preemptive Weighted Flow Time on a Single Machine

Lars Rohwedder

Weighted flow time is a fundamental and very well-studied objective function in scheduling. In this paper, we study the setting of a single machine with preemptions. The input consists of a set of jobs, characterized by their processing times, release times, and weights and we want to compute a (possibly preemptive) schedule for them. The objective is to minimize the sum of the weighted flow times of the jobs, where the flow time of a job is the time between its release date and its completion time. It had been a long-standing open problem to find a polynomial time O(1)-approximation algorithm for this setting. In a recent break-through result, Batra, Garg, and Kumar (FOCS 2018) found such an algorithm if the input data are polynomially bounded integers, and Feige, Kulkarni, and Li (SODA 2019) presented a black-box reduction to this setting. The resulting approximation ratio is a (not explicitly stated) constant which is at least 10000. In this paper we improve this ratio to 2 + epsilon. The algorithm by Batra, Garg, and Kumar (FOCS 2018) reduces the problem to DEMAND MULTICUT ON TREES and solves the resulting instances via LP-rounding and a dynamic program. Instead, we first reduce the problem to a (different) geometric problem while losing only a factor 1 + epsilon, and then solve its resulting instances up to a factor of 2 + epsilon by a dynamic program. In particular, our reduction ensures certain structural properties, thanks to which we do not need LP-rounding methods. We believe that our result makes substantial progress towards finding a PTAS for weighted flow time on a single machine.

ASSOC COMPUTING MACHINERY2021

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