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Concept
Superalgèbre
Résumé
En mathématiques et en physique théorique, une superalgèbre est une algèbre Z2 - graduée. En d'autres termes, c'est une algèbre sur un anneau ou un corps commutatif avec une décomposition en parties « paire » et « impaire » et un opérateur de multiplication qui respecte la graduation.
Le préfixe super vient de la théorie de la supersymétrie en physique théorique. Les superalgèbres et leurs représentations, les supermodules, fournissent un cadre algébrique pour formuler cette théorie. L'étude de tels objets est parfois appelée « algèbre superlinéaire ». Les superalgèbres jouent également un rôle important dans le domaine voisin de la supergéométrie où elles interviennent dans les définitions des variétés graduées, des supervariétés et des superschémas.
Soit un anneau commutatif. Dans la plupart des applications, est un corps de caractéristique d'un anneau 0, tel que le corps R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes.
Une superalgèbre sur est un -module avec une décomposition en somme directe :
et une multiplication bilinéaire telle que
où les indices se lisent modulo 2, c'est-à-dire qu'ils sont considérés comme des éléments de Z2.
Un superanneau, ou anneau Z2-gradué, est une superalgèbre sur l'anneau des entiers Z .
Les éléments de chacun des sont dits homogènes. La parité d'un élément homogène , notée , vaut 0 ou 1 selon qu'il est dans ou . Les éléments de parité 0 sont dits pairs et ceux de parité 1 impairs . Si et sont tous les deux homogènes, alors leur produit aussi est homogène et .
Une superalgèbre associative est une superalgèbre dont la multiplication est associative et une superalgèbre unitaire est une superalgèbre avec un élément neutre pour la multiplication. L'élément neutre dans une superalgèbre unitaire est nécessairement pair. Sauf indication contraire, toutes les superalgèbres sont supposées, dans la suite, associatives et unitaires.
Une superalgèbre commutative (ou algèbre supercommutative) est une superalgèbre qui vérifie une version graduée de la commutativité.
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