Géométrie des transformations

En mathématiques, la géométrie des transformations correspond à l'étude géométrique centrée sur les groupes de transformations géométriques et à leurs propriétés, indépendamment des figures, considérées invariantes. Elle s'oppose de façon claire à la géométrie euclidienne, qui se concentre sur la construction géométrique. Par exemple, dans la géométrie des transformations, les propriétés d'un triangle isocèle sont déduites des symétries internes autour des droites géométriques particulières (hauteurs, bissectrices, médiatrices). Cette définition contraste avec la définition classique selon laquelle est isocèle tout triangle qui au moins deux angles égaux. Au , Felix Klein est le premier à utiliser la transformation comme fondement de la géométrie, et propose une refonte du système euclidien dans le programme d'Erlangen. Au , une généralisation a été proposée pour l'éducation. Andreï Kolmogorov inclut cette approche (avec la théorie des ensembles), comme partie intégrante de la réforme de la géométrie en Russie. Les mathématiques modernes des années 1960 reprendront une telle conception. L'étude de la symétrie dans la vie courante peut permettre une première approche de la géométrie des transformations. La transformation la plus simple est celle de la symétrie autour d'un axe ou d'une droite. La composition de deux symétries permet une rotation, quand les droites sont sécantes, ou une translation, quand les droites sont parallèles. Avec ces transformations, il est possible de déduire les isométries du plan euclidien (conservation des angles et des longueurs). De plus, en considérant les symétries S1 autour d'un axe vertical et S2 autour d'un axe incliné à 45° par rapport à l'horizontale (allant d'en bas à gauche à en haut à droite), l'application de S1 puis de S2 correspond à une rotation d'un quart de tour dans le sens horaire, tandis que l'application de S2 puis de S1 correspond à une rotation d'un quart de tour dans le sens anti-horaire. Un tel exemple montre que la géométrie des transformations contient des processus non commutatifs.

Capacities, Systoles and Jacobians of Riemann Surfaces

Björn Mützel

To any compact Riemann surface of genus g one may assign a principally polarized abelian variety (PPAV) of dimension g, the Jacobian of the Riemann surface. The Jacobian is a complex torus and we call a Gram matrix of the lattice of a Jacobian a period Gram matrix. The aim of this thesis is to contribute to the Schottky problem, which is to discern the Jacobians among the PPAVs. Buser and Sarnak approached this problem by means of a geometric invariant, the first successive minimum. They showed that the square of the first successive minimum, the squared norm of the shortest non-zero vector, in the lattice of a Jacobian of a Riemann surface of genus g is bounded from above by log(4g), whereas it can be of order g for the lattice of a PPAV of dimension g. The main goal of this work was to improve this result and to get insight into the connection between the geometry of a compact Riemann surface that is given in hyperbolic geometric terms, and the geometry of its Jacobian. We show the following general findings: For a hyperelliptic surface the first successive minimum is bounded from above by a universal constant. The square of the second successive minimum of the Jacobian of a Riemann surface of genus g is equally of order log(g). We provide refined upper bounds on the consecutive successive minima if the surface contains several disjoint small simple closed geodesics and a lower bound for the norm of certain lattice vectors of the Jacobian, if the surface contains small non-separating simple closed geodesics. If the concrete geometry of the Riemann surface is known, more precise statements can be made. In this case we obtain theoretical and practical estimates on all entries of the period Gram matrix. Here we establish upper and lower bounds based on the geometry of the cut locus of simple closed geodesics and also on the geometry of Q-pieces. In addition the following two results have been obtained: First, an improved lower bound for the maximum value of the norm of the shortest non-zero lattice vector among all PPAVs in even dimensions. This follows from an averaging method from the geometry of numbers applied to a family of symmetric PPAVs. Second, a new proof for a lower bound on the number of homotopically distinct geodesic loops, whose length is smaller than a fixed constant. This lower bound applies not only to geodesic loops on Riemann surfaces, but on arbitrary manifolds of non-positive curvature.

EPFL2011

Capacities, Systoles and Jacobians of Riemann Surfaces

Björn Mützel

EPFL2011