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Concept
Oscillation (mathématiques)
Résumé
L'oscillation quantifie la tendance d'une fonction ou d'une suite à varier entre des valeurs extrémales. Il existe plusieurs notions d'oscillation : oscillation d'une suite de réels, oscillation d'une fonction à valeurs dans un espace métrique (comme R), en un point ou sur une partie de son domaine de définition.
right|thumb|L'oscillation d'une suite (représentée en bleu) est la différence entre ses limites supérieure et inférieure.
L'oscillation ω(a) d'une suite réelle a = (a) est la différence entre ses limites supérieure et inférieure :
Elle est définie sauf si cette différence est de la forme (+∞) – (+∞) ou (–∞) – (–∞), c'est-à-dire si la suite tend vers +∞ ou vers –∞. Elle vaut +∞ lorsque la suite n'est pas bornée. Elle est nulle lorsque la suite converge.
Si f est une fonction à valeurs réelles définie sur un ensemble X, l'oscillation ω(U) de f sur une partie non vide U de X est la différence entre les bornes supérieure et inférieure de f sur U :
Plus généralement, si f est à valeurs dans un ensemble E muni d'une distance d, ω(U) est le diamètre de l' de U par f :
Elle est toujours définie, et vaut +∞ lorsque la fonction n'est pas bornée sur U.
Lorsque le domaine X de f est muni d'une topologie, on définit l'oscillation ω(a) de f en un point quelconque a de X comme la borne inférieure de ses oscillations ω(U) quand U parcourt le filtre V(a) des voisinages de a, ou même seulement une base W(a) de V(a) :
Si de plus f est à valeurs réelles, cette oscillation est la différence entre limites supérieure et inférieure de f en a :
On peut toujours choisir pour W(a) l'ensemble des ouverts qui contiennent a. Si l'espace topologique X est métrisable, on peut aussi choisir comme base la famille des boules (ouvertes par exemple) B(a, ε) de centre a et de rayon ε > 0 et vérifier que
ce qui, si l'espace métrisable X est un ensemble de réels (muni de la distance usuelle), se réécrit :
L'oscillation de f en un point a de son domaine est nulle si et seulement si f est continue en a.
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