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Concept
Limite supérieure et limite inférieure
Résumé
vignette|upright=1.8|Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite (x) est représentée en bleu.
En mathématiques, plus précisément en analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente.
L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.
Soit une suite à valeurs dans R, ou même = R ∪ {−∞, +∞}.
Les suites définies par
sont respectivement décroissante et croissante. Elles admettent donc une limite dans , ce qui permet de poser :
ou, ce qui est équivalent :
Ces nombres sont appelés limite supérieure et limite inférieure de la suite .
On rencontre aussi les notations oupour la limite supérieure et oupour la limite inférieure.
Remarque
Pour tout n, . La suite est donc :
majorée par un réel si et seulement si ;
minorée par un réel si et seulement si .
Exemples
Les limites inférieure et supérieure d'une suite u à valeurs dans le compact sont respectivement sa plus petite et sa plus grande valeur d'adhérence, autrement dit, par exemple pour la limite supérieure L de u :
Pour tout L' > L, il n'y a qu'un nombre fini de k tels que math|u ≥ L'''.En effet, la convergence vers L de la suite v montre que v < L pour n assez grand, et pour un tel n on a :
Pour tout L" < L, il y a une infinité de k tels que u > L".En effet, pour tout n, L" < v. D'après la définition même de la borne supérieure (plus petit des majorants), il existe k ≥ n tel que L" < u.
D'après le point précédent, les limites inférieure et supérieure d'une suite sont égales si et seulement si la suite admet une limite (finie ou infinie), et la limite est alors cette valeur commune.
Somme et produit. Soit .
Somme
Produit pour des suites réelles positives à partir d'un certain rang
Produit par un réel .
Si , et .
Si , et .
(Plus généralement) : composition par une fonction continue monotone .
Si est croissante alors et .
Source officielle
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