Extension radicielle

Dans la théorie des extensions de corps, à l'opposé des extensions algébriques séparables, il existe les extensions radicielles. C'est un phénomène spécifique à la caractéristique positive et qui apparaît naturellement avec les corps de fonctions en caractéristique positive. Soit une extension de corps de caractéristique . Un élément de est dit radiciel sur s'il existe un entier tel que . Une extension (algébrique) est une extension radicielle si tout élément de est radiciel sur . Une extension radicielle est aussi appelée une extension purement inséparable, qui est plus proche de la terminologie anglophone purely inseparable extension. Le terme radiciel reflète le fait que tout élément est une racine d'un élément de (cette propriété caractérise d'ailleurs les extensions radicielles parmi les extensions algébriques quelconques). Une extension radicielle L/K est de hauteur m si, pour tout élément x de L, on a et si m est minimal pour cette propriété. Toute extension radicielle finie est de hauteur finie. Si est un élément qui n'est pas une puissance -ième dans , alors le polynôme est irréductible, son corps de rupture (égal au corps de décomposition ici) est une extension radicielle de de degré . Soit un corps de caractéristique . Soit un entier naturel. Alors l'ensemble des éléments de la forme est un sous-corps de et est une extension algébrique radicielle (qui n'est pas nécessairement de degré fini). Soit le corps des fractions rationnelles à une variable sur un corps parfait . Alors est une extension radicielle de degré sur et c'est l'unique extension radicielle de de degré . Il en résulte que toute extension radicielle de est isomorphe à un corps des fractions rationnelles . En revanche, a plusieurs extensions radicielles de degré non isomorphes entre elles (en tant qu'extensions de ). Une extension radicielle finie est nécessairement de degré une puissance de . Le polynôme minimal d'un élément radiciel est de la forme . Si est une extension radicielle, alors tout homomorphisme de dans un corps parfait s'étend de façon unique en un homomorphisme .