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Concept
Extension simple
Résumé
En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des corps commutatifs, une extension L d'un corps K est dite simple s'il existe un élément α de L tel que L est égal à K(α).
L'extension simple K(α) est finie si et seulement si α est algébrique sur K. La seule extension simple infinie de K (à isomorphisme près) est le corps de fractions rationnelles K(X).
Le théorème de l'élément primitif assure que toute extension séparable finie est simple.
Deux raisons rendent le concept d'extension simple intéressant :
Les extensions simples sont un cas particulier d'extensions de corps qui peut faire l'objet d'une classification complète. Soit le générateur de l'extension est transcendant sur K et l'extension est infinie, isomorphe au corps des fractions rationnelles, soit le générateur α est algébrique et l'extension est finie, isomorphe à un corps de rupture du polynôme minimal de α sur K.
Le théorème de l'élément primitif assure que toute extension finie et séparable est simple. Une extension algébrique est dite séparable si les polynômes minimaux de ses éléments n'ont pas de racines multiples. Outre divers critères de séparabilité pour une extension finie, une condition suffisante commune pour qu'une extension algébrique soit séparable est que le corps de base soit parfait (par exemple : que sa caractéristique soit nulle ou qu'il soit fini).
Soit L une extension de corps de K.
L'extension L est dite simple s'il existe un élément α de L tel que K(α), la sous-K-extension de L engendrée par α, soit égale à L.
Soit L une extension simple et g un élément de L tel que L soit égal à K(g). Alors g est appelé générateur de L sur K.
Le corps des nombres complexes est une extension simple quadratique (i.e. de degré 2) des nombres réels. Il est engendré par l'unité imaginaire i.
Le corps engendré par la racine cubique de 2 et l'unité imaginaire i est une extension simple du corps Q des nombres rationnels.
Cette propriété est démontrée dans l'article « Extension de Galois », mais il est possible de s'en rendre compte plus directement.
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