Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Théorème de l'élément primitif
Résumé
En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre, le théorème de l'élément primitif est un des théorèmes de base de la théorie des corps. Il stipule que toute extension finie séparable est simple, c'est-à-dire engendrée par un seul élément, appelé élément primitif.
Une extension algébrique L d'un corps K est dite séparable si le polynôme minimal de tout élément de L n'admet que des racines simples (dans une clôture algébrique de K).
On démontre l'équivalence de cette définition avec la définition suivante : une extension finie est séparable si et seulement si le nombre de morphismes de l'extension dans la clôture algébrique laissant invariant le corps de base est égal au degré de l'extension.
Le théorème de l'élément primitif, énoncé pour la première fois par Abel dans un mémoire posthume, et démontré par Évariste Galois, peut être utilisé pour simplifier l'exposé de la théorie de Galois, quoique la plupart des exposés modernes suivent la démarche indépendante d'Artin ; c'est d'ailleurs par ce théorème que commence la démonstration originale de Galois. À l'inverse, comme dans la méthode d'Artin, on peut regarder ce théorème comme une conséquence simple de cette théorie, fait lui aussi reconnu explicitement par Galois.
Dans certains cas simples d'extensions, on peut construire explicitement un élément primitif. Ainsi, prenons K = Q et L = (L est une extension séparable de K, voir ci-dessous) ; montrons que L = Q(α), avec Il est clair qu'il suffit de démontrer que est dans Q(α) (car = α – le sera alors aussi), or en développant l'équation = 3, on trouve = .
En général, en supposant que K est infini et que L est une extension finie et séparable sur K, la construction de van der Waerden (mentionnée plus bas dans cet article) assure que pour tout système de générateurs α, α, ... α, de L sur K, il existe un élément primitif de la forme θ = λα + ... + λα, les λ pouvant être choisis dans n'importe quelle partie infinie donnée de K.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.