Retournement de la sphère

En mathématiques, et plus précisément en topologie différentielle, le retournement de la sphère (ou éversion de la sphère) est une transformation faisant passer l'intérieur d'une sphère à l'extérieur dans l'espace usuel à trois dimensions, en autorisant la traversée de la surface par elle-même, mais en interdisant la formation de plis. Le fait qu'un tel processus soit possible a un caractère surprenant, ce qui fait que l'existence de ce retournement est parfois connue aussi sous le nom de paradoxe de Smale, d'après Stephen Smale qui le découvrit en 1958. L'existence d'un retournement paradoxal fut découvert par Stephen Smale en 1958. Il est difficile de visualiser un tel retournement, bien que des animations infographiques aient été produites, rendant la tâche plus aisée ; le premier exemple explicite fut construit grâce aux efforts de plusieurs mathématiciens, parmi lesquels et Bernard Morin, qui était aveugle. Il est plus facile de démontrer qu'un tel « retournement » existe sans le construire, comme le fit Smale. Raoul Bott, qui était le directeur de recherche de Smale, lui déclara d'abord que son résultat était évidemment faux, faisant remarquer que le degré de l'application de Gauss serait invariant dans un tel retournement — c'est la raison qui fait qu'on ne peut retourner le cercle S1 dans le plan R2. Mais les degrés des applications i (l'immersion canonique de S2 dans R3) et –i sont tous deux égaux à 1, et cet argument ne s'applique donc pas. De fait, il ne semble pas qu'il y ait eu avant le travail de Smale une analyse de la possibilité (ou non) de retourner la sphère. Le « retournement » de la sphère dont Smale démontre l'existence est techniquement une homotopie, c'est-à-dire une suite continue d'immersions (des « plongements » autorisant la surface à se « croiser » elle-même) de la sphère dans l'espace ordinaire R3.

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