En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante. Ce concept est tout d'abord apparu en analyse réelle pour les fonctions numériques et a été généralisé ensuite dans le cadre plus abstrait de la théorie des ordres.
Intuitivement (voir les figures ci-contre), la représentation graphique d'une fonction monotone sur un intervalle est une courbe qui « monte » constamment ou « descend » constamment. Si cet aspect graphique est immédiatement parlant, ce n'est cependant pas la seule forme sous laquelle la propriété de monotonie se révèle : une fonction monotone est une fonction qui a toujours le même effet sur la relation d'ordre. Pour une fonction croissante, l'ordre qui existe entre deux variables se retrouve dans l'ordre de leurs , pour une fonction décroissante, l'ordre des images est inversé par rapport à l'ordre des antécédents.
Pour une fonction dérivable sur un intervalle, l'étude de la monotonie est liée à l'étude du signe de la dérivée, qui est constant : toujours positif ou toujours négatif.
Soient I un intervalle de R et f une fonction à valeurs réelles, dont le domaine de définition contient cet intervalle I.
Monotonie au sens large. On dit que f est :
croissante (ou : croissante au sens large) sur I si
décroissante (ou : décroissante au sens large) sur I si
monotone (ou : monotone au sens large) sur I si elle est croissante sur I ou décroissante sur I.
Exemple : pour tout réel x, notons ici E(x) la partie entière de x (c'est l'unique entier relatif k tel que k ≤ x < k + 1). La fonction E : R → R est croissante sur R mais pas strictement croissante (cf. infra), car elle est constante sur chaque intervalle [i , i + 1[ d'extrémités entières.
Monotonie stricte. On dit que f est :
strictement croissante sur I si
strictement décroissante sur I si
strictement monotone sur I si elle est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I
Exemples : soit n un entier strictement positif.
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Le contenu de ce cours correspond à celui du cours d'Analyse I, comme il est enseigné pour les étudiantes et les étudiants de l'EPFL pendant leur premier semestre. Chaque chapitre du cours correspond
vignette|Diagramme de calcul pour la fonction En mathématiques, une fonction permet de définir un résultat (le plus souvent numérique) pour chaque valeur d’un ensemble appelé domaine. Ce résultat peut être obtenu par une suite de calculs arithmétiques ou par une liste de valeurs, notamment dans le cas de relevé de mesures physiques, ou encore par d’autres procédés comme les résolutions d’équations ou les passages à la limite. Le calcul effectif du résultat ou son approximation repose éventuellement sur l’élaboration de fonction informatique.
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