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Concept
Fonction monotone
Résumé
En mathématiques, une fonction monotone est une fonction entre ensembles ordonnés qui préserve ou renverse l'ordre. Dans le premier cas, on parle de fonction croissante et dans l'autre de fonction décroissante. Ce concept est tout d'abord apparu en analyse réelle pour les fonctions numériques et a été généralisé ensuite dans le cadre plus abstrait de la théorie des ordres.
Intuitivement (voir les figures ci-contre), la représentation graphique d'une fonction monotone sur un intervalle est une courbe qui « monte » constamment ou « descend » constamment. Si cet aspect graphique est immédiatement parlant, ce n'est cependant pas la seule forme sous laquelle la propriété de monotonie se révèle : une fonction monotone est une fonction qui a toujours le même effet sur la relation d'ordre. Pour une fonction croissante, l'ordre qui existe entre deux variables se retrouve dans l'ordre de leurs , pour une fonction décroissante, l'ordre des images est inversé par rapport à l'ordre des antécédents.
Pour une fonction dérivable sur un intervalle, l'étude de la monotonie est liée à l'étude du signe de la dérivée, qui est constant : toujours positif ou toujours négatif.
Soient I un intervalle de R et f une fonction à valeurs réelles, dont le domaine de définition contient cet intervalle I.
Monotonie au sens large. On dit que f est :
croissante (ou : croissante au sens large) sur I si
décroissante (ou : décroissante au sens large) sur I si
monotone (ou : monotone au sens large) sur I si elle est croissante sur I ou décroissante sur I.
Exemple : pour tout réel x, notons ici E(x) la partie entière de x (c'est l'unique entier relatif k tel que k ≤ x < k + 1). La fonction E : R → R est croissante sur R mais pas strictement croissante (cf. infra), car elle est constante sur chaque intervalle [i , i + 1[ d'extrémités entières.
Monotonie stricte. On dit que f est :
strictement croissante sur I si
strictement décroissante sur I si
strictement monotone sur I si elle est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I
Exemples : soit n un entier strictement positif.
Source officielle
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