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Concept
Suite aliquote
Résumé
En arithmétique, une suite aliquote est une suite d'entiers dans laquelle chaque nombre est la somme des diviseurs propres (ou diviseurs stricts) de son prédécesseur. Quand la suite atteint 1, elle s'arrête car 1 ne possède pas de diviseur propre.
Ainsi la suite commençant à 10 se comporte de la manière suivante :
les diviseurs propres de 10 sont 1, 2 et 5.
les diviseurs propres de 8 sont 1, 2 et 4
7 ne possède qu'un diviseur propre 1
L'étude des suites aliquotes met en évidence les cas particuliers suivants
si est un nombre premier alors et la suite s'arrête.
si est un nombre parfait alors la suite est constante
si est un nombre amical, alors est son nombre amical associé et la suite boucle sur ces deux valeurs
si est un nombre sociable alors la suite boucle sur tous les nombres sociables associés à
La suite est définie par la relation de récurrence suivante : pour tout entier n, si est différent de 1
où f est définie de la manière suivante : si N est un entier différent de 1 dont la décomposition en facteurs premiers est
On remarque que f est définie par
où σ est la somme des diviseurs de N
Toutes les suites aliquotes dont le premier terme est un nombre inférieur ou égal à 275 ont été étudiées et s'arrêtent à 1, sauf les suites constantes commençant par les nombres parfaits 6 et 28, et la suite de période 2 commençant par 220. La suite la plus longue est alors obtenue pour un premier terme égal à 138.
Une conjecture importante, due à Catalan, stipule qu'une suite aliquote, ou bien se termine à 1, ou bien finit par être constante sur un nombre parfait, ou périodique sur une famille de nombres sociables.
Cette conjecture ne fait pas l'unanimité. En effet, parmi les suites dont le premier terme est un nombre inférieur ou égal à 1000, 5 suites n'ont toujours pas pu être explorées jusqu'à leur terme. Ce sont les suites commençant par 276, 552, 564, 660 et 966. Ces nombres sont appelés les « cinq de Lehmer ». Il existe de même 12 nombres (les douze de Godwin) compris entre 1000 et 2000 pour lesquels les suites aliquotes associées ne sont pas connues.
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