Suite aliquote

En arithmétique, une suite aliquote est une suite d'entiers dans laquelle chaque nombre est la somme des diviseurs propres (ou diviseurs stricts) de son prédécesseur. Quand la suite atteint 1, elle s'arrête car 1 ne possède pas de diviseur propre. Ainsi la suite commençant à 10 se comporte de la manière suivante : les diviseurs propres de 10 sont 1, 2 et 5. les diviseurs propres de 8 sont 1, 2 et 4 7 ne possède qu'un diviseur propre 1 L'étude des suites aliquotes met en évidence les cas particuliers suivants si est un nombre premier alors et la suite s'arrête. si est un nombre parfait alors la suite est constante si est un nombre amical, alors est son nombre amical associé et la suite boucle sur ces deux valeurs si est un nombre sociable alors la suite boucle sur tous les nombres sociables associés à La suite est définie par la relation de récurrence suivante : pour tout entier n, si est différent de 1 où f est définie de la manière suivante : si N est un entier différent de 1 dont la décomposition en facteurs premiers est On remarque que f est définie par où σ est la somme des diviseurs de N Toutes les suites aliquotes dont le premier terme est un nombre inférieur ou égal à 275 ont été étudiées et s'arrêtent à 1, sauf les suites constantes commençant par les nombres parfaits 6 et 28, et la suite de période 2 commençant par 220. La suite la plus longue est alors obtenue pour un premier terme égal à 138. Une conjecture importante, due à Catalan, stipule qu'une suite aliquote, ou bien se termine à 1, ou bien finit par être constante sur un nombre parfait, ou périodique sur une famille de nombres sociables. Cette conjecture ne fait pas l'unanimité. En effet, parmi les suites dont le premier terme est un nombre inférieur ou égal à 1000, 5 suites n'ont toujours pas pu être explorées jusqu'à leur terme. Ce sont les suites commençant par 276, 552, 564, 660 et 966. Ces nombres sont appelés les « cinq de Lehmer ». Il existe de même 12 nombres (les douze de Godwin) compris entre 1000 et 2000 pour lesquels les suites aliquotes associées ne sont pas connues.

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Concepts associés (4)

Aliquot sum

In number theory, the aliquot sum s(n) of a positive integer n is the sum of all proper divisors of n, that is, all divisors of n other than n itself. That is, It can be used to characterize the prime numbers, perfect numbers, sociable numbers, deficient numbers, abundant numbers, and untouchable numbers, and to define the aliquot sequence of a number. For example, the proper divisors of 12 (that is, the positive divisors of 12 that are not equal to 12) are 1, 2, 3, 4, and 6, so the aliquot sum of 12 is 16 i.

Suite aliquote

Nombre sociable

En mathématiques, un nombre entier strictement positif est sociable d'ordre n si sa suite aliquote est fermée et compte n maillons. La formule de construction d'une suite aliquote est la suivante : est la somme des diviseurs stricts de (les diviseurs de strictement compris entre 0 et ). Les nombres amicaux sont sociables d'ordre 2, les parfaits sociables d'ordre 1. Le premier autre nombre sociable (d'ordre 5) fut découvert par Paul Poulet, un mathématicien belge, en 1918 : 12 496 → 14 288 → 15 472 → 14 536 → 14 264 (→ 12 496).