Nombre sociable

In mathematics, sociable numbers are numbers whose aliquot sums form a periodic sequence. They are generalizations of the concepts of perfect numbers and amicable numbers. The first two sociable sequences, or sociable chains, were discovered and named by the Belgian mathematician Paul Poulet in 1918. In a sociable sequence, each number is the sum of the proper divisors of the preceding number, i.e., the sum excludes the preceding number itself. For the sequence to be sociable, the sequence must be cyclic and return to its starting point. The period of the sequence, or order of the set of sociable numbers, is the number of numbers in this cycle. If the period of the sequence is 1, the number is a sociable number of order 1, or a perfect number—for example, the proper divisors of 6 are 1, 2, and 3, whose sum is again 6. A pair of amicable numbers is a set of sociable numbers of order 2. There are no known sociable numbers of order 3, and searches for them have been made up to as of 1970. It is an open question whether all numbers end up at either a sociable number or at a prime (and hence 1), or, equivalently, whether there exist numbers whose aliquot sequence never terminates, and hence grows without bound. As an example, the number 1,264,460 is a sociable number whose cyclic aliquot sequence has a period of 4: The sum of the proper divisors of () is 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860, the sum of the proper divisors of () is 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636, the sum of the proper divisors of () is 1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184, and the sum of the proper divisors of () is 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

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Concepts associés (3)

Suite aliquote

En arithmétique, une suite aliquote est une suite d'entiers dans laquelle chaque nombre est la somme des diviseurs propres (ou diviseurs stricts) de son prédécesseur. Quand la suite atteint 1, elle s'arrête car 1 ne possède pas de diviseur propre. Ainsi la suite commençant à 10 se comporte de la manière suivante : les diviseurs propres de 10 sont 1, 2 et 5. les diviseurs propres de 8 sont 1, 2 et 4 7 ne possède qu'un diviseur propre 1 L'étude des suites aliquotes met en évidence les cas particuliers suivants si est un nombre premier alors et la suite s'arrête.

Nombre déficient

vignette|Diagramme en bâtons de la somme des diviseurs propres de en fonction de , pour variant de 1 à 40. Les nombres déficients (gris) sont ceux pour lesquels le bâton reste sous la première diagonale. En mathématiques, un nombre déficient est un nombre entier naturel n qui est strictement supérieur à la somme de ses diviseurs stricts, autrement dit, tel que où est la somme des diviseurs entiers positifs de n y compris n. La valeur est appelée déficience de n.

Nombre parfait

En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3. Voir la . Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide, au , a démontré que si M = 2 − 1 est premier, alors M(M + 1)/2 = 2(2 – 1) est parfait.