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Concept
Logarithme complexe
Résumé
En mathématiques, le logarithme complexe est une fonction généralisant la fonction logarithme naturel (définie sur ]0,+∞[) au domaine C* des nombres complexes non nuls.
Plusieurs définitions sont possibles. Aucune ne permet de conserver, à la fois, l'univocité, la continuité et les propriétés algébriques de la fonction logarithme.
Histoire des nombres complexes
La question de savoir s'il est possible de prolonger le logarithme naturel (c'est-à-dire de le définir sur un ensemble plus grand que ]0,+∞[) s'est posée dès la seconde moitié du avec les développements en série des fonctions. Le passage de
à
s'était fait de manière naturelle (voir Exponentielle complexe), et il eût été imaginable qu'un passage analogue se fît pour le logarithme népérien. Mais il n'existe aucune fonction univoque continue sur C*, possédant toutes les propriétés algébriques des fonctions logarithmes et coïncidant avec la fonction logarithme népérien réelle sur ]0,+∞[.
L'existence de plusieurs valeurs possibles pour ln(–1), par exemple, a donné lieu à des échanges de lettres passionnés entre Leibniz et Bernoulli. Le voile sera levé par Euler.
On peut cependant définir le logarithme d'un nombre négatif de la manière suivante : pour a réel strictement positif, en référence au fait que et par transfert de propriété : ; mais la fonction ainsi définie n'a pas toutes les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien réelle. En effet, par exemple, comme l'aurait voulu Bernoulli, pour x=–1 entraînerait :
Mais d'autre part :
Cela imposerait l'existence d'au moins deux valeurs différentes, chacune acceptable, comme un logarithme de 1 : 0 et 2iπ.
On peut définir sur l'ensemble des complexes, l'exponentielle complexe :
On démontre (voir l'article détaillé) que . Par conséquent, la fonction exponentielle est surjective de C dans C*, et .
On définit alors un logarithme complexe α d'un nombre complexe Α comme une solution de l'équation :
Ainsi, tout complexe non nul admet au moins un logarithme et deux logarithmes du même nombre diffèrent de 2ikπ, pour un certain entier relatif k.
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