Logarithme complexe

En mathématiques, le logarithme complexe est une fonction généralisant la fonction logarithme naturel (définie sur ]0,+∞[) au domaine C* des nombres complexes non nuls. Plusieurs définitions sont possibles. Aucune ne permet de conserver, à la fois, l'univocité, la continuité et les propriétés algébriques de la fonction logarithme. Histoire des nombres complexes La question de savoir s'il est possible de prolonger le logarithme naturel (c'est-à-dire de le définir sur un ensemble plus grand que ]0,+∞[) s'est posée dès la seconde moitié du avec les développements en série des fonctions. Le passage de à s'était fait de manière naturelle (voir Exponentielle complexe), et il eût été imaginable qu'un passage analogue se fît pour le logarithme népérien. Mais il n'existe aucune fonction univoque continue sur C*, possédant toutes les propriétés algébriques des fonctions logarithmes et coïncidant avec la fonction logarithme népérien réelle sur ]0,+∞[. L'existence de plusieurs valeurs possibles pour ln(–1), par exemple, a donné lieu à des échanges de lettres passionnés entre Leibniz et Bernoulli. Le voile sera levé par Euler. On peut cependant définir le logarithme d'un nombre négatif de la manière suivante : pour a réel strictement positif, en référence au fait que et par transfert de propriété : ; mais la fonction ainsi définie n'a pas toutes les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien réelle. En effet, par exemple, comme l'aurait voulu Bernoulli, pour x=–1 entraînerait : Mais d'autre part : Cela imposerait l'existence d'au moins deux valeurs différentes, chacune acceptable, comme un logarithme de 1 : 0 et 2iπ. On peut définir sur l'ensemble des complexes, l'exponentielle complexe : On démontre (voir l'article détaillé) que . Par conséquent, la fonction exponentielle est surjective de C dans C*, et . On définit alors un logarithme complexe α d'un nombre complexe Α comme une solution de l'équation : Ainsi, tout complexe non nul admet au moins un logarithme et deux logarithmes du même nombre diffèrent de 2ikπ, pour un certain entier relatif k.