Théorie de Sturm-Liouville

En mathématiques, la théorie de Sturm-Liouville étudie le cas particulier des équations différentielles linéaires scalaires d'ordre deux de la forme dans laquelle le paramètre λ fait partie comme la fonction y des inconnues. La fonction w(x) est souvent appelé fonction "poids" ou "densité". Cette équation est fréquemment posée sur un segment [a,b] et accompagnée de conditions aux limites reliant les valeurs , , et . Les solutions λ et y du problème apparaissent alors comme valeur propre et vecteur propre de l'opérateur autoadjoint : dans un espace de Hilbert L2([a, b], w(x) dx) des fonctions de carré sommable sur l'intervalle [a,b], muni de la mesure w(x)dx et du produit scalaire défini par : Le résultat principal de la théorie est l'existence d'une base hilbertienne de vecteurs propres associés à des valeurs propres formant une suite strictement croissante. Cette théorie porte le nom des mathématiciens Charles Sturm (1803-1855) et Joseph Liouville (1809-1882) qui travaillèrent conjointement à sa mise en forme. De façon générale une équation différentielle linéaire d'ordre deux, scalaire, homogène, de forme générale : peut être mise sous la forme dite de Sturm-Liouville, avec une fonction p à valeurs strictement positives, soit: λ étant en général une variable réelle (ou plus généralement complexe) pouvant prendre plusieurs valeurs, et w(x) une fonction régulière à valeurs positive appelée « fonction poids ». Toutes les équations différentielles linéaires homogènes d'ordre deux ne se mettent pas nécessairement de façon évidente sous la forme de Sturm-Liouville, en général il faut pour cela utiliser un facteur intégrant. En l'occurrence, après division par A(x), l'équation précédente se met sous la forme : il s'agit alors de trouver une fonction qui permette de la mettre sous la forme de Sturm-Liouville. Or après multiplication on a: ce qui implique par identification que p(x) doit être telle que , par suite il suffit de prendre formellement: pour obtenir le résultat désiré (la fonction p est par construction à valeurs positives).