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Concept
Lemme d'Urysohn
Résumé
vignette|Le mathématicien Pavel Urysohn donne son nom au lemme de l'article.
Le lemme d'Urysohn est un résultat de topologie, qui établit que pour deux fermés disjoints F et G d'un espace normal X (ou plus généralement d'un espace T4), il existe une fonction continue de X dans l'intervalle [0, 1] qui vaut 0 sur F et 1 sur G.
Ce lemme permit d'étendre aux espaces normaux le théorème de prolongement de Tietze, initialement démontré en 1914 par Heinrich Tietze pour les espaces métriques. Pavel Urysohn trouve une nouvelle démonstration et énonce son lemme un peu plus tard, dans un texte mathématique dont l'objectif est la démonstration des théorèmes sur l'invariance de la dimension d'un espace topologique localement homéomorphe à un espace euclidien.
Il existe un premier énoncé spécifique aux espaces T4 (et dont la réciproque est immédiate) :
Un premier corollaire est que tout espace normal (i.e. T4 et séparé) est complètement régulier.
Un autre corollaire est le suivant :
Si X est un espace localement compact alors, pour tout compact K de X, il existe une application continue de X dans [0, 1], à support compact, et qui vaut 1 sur K.
Ce lemme est aussi utilisé en géométrie différentielle sous la forme suivante :
Soient K un compact d'un espace euclidien E et Ω un ouvert de E contenant K. Il existe une fonction infiniment différentiable de E dans [0, 1], dont le support est inclus dans Ω, et qui vaut 1 sur K.
Une des grandes questions qui se posent au début du en topologie est la classification des différents espaces. Un invariant important pour ce classement est la dimension. Si un espace topologique connexe possède en tout point un ouvert, contenant ce point et homéomorphe à un ouvert d'un espace euclidien, tous les espaces euclidiens ont la même dimension et cette dimension est unique. Si ce résultat est très intuitif : si un espace topologique est de même nature qu'une courbe, ce n'est alors pas un plan, la démonstration est difficile.
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