Axiome de séparation (topologie)

En topologie, un axiome de séparation est une propriété satisfaite par certains espaces topologiques, similaire à la propriété de séparation de Hausdorff (dite aussi T2), et concernant la séparation de points ou de fermés, du point de vue soit de voisinages, soit de fonctions continues réelles. Divers axiomes de séparation peuvent être ordonnés par implication, notamment ceux de la série des axiomes codés par la lettre « T » et un indice numérique, ces axiomes étant en général d'autant plus restrictifs que les indices sont élevés et les topologies correspondantes plus fines. Attention : dans la littérature, le vocabulaire est parfois très volatil et certaines de ces définitions peuvent être interchangées. On dit qu'un espace topologique X est de Kolmogorov, ou vérifie la propriété T, si pour deux points distincts quelconques de X, l'un (au moins) des deux points admet un voisinage qui ne contient pas l'autre point. Ou encore, l'un des deux points n'est pas adhérent à l'autre. Un espace T1 est un espace topologique dont les singletons sont fermés. Ceci équivaut à : pour tout point x, l'intersection des voisinages de x est réduite au singleton {x}. Ou encore, pour deux points distincts quelconques, chacun des deux points admet un voisinage qui ne contient pas l'autre point. Ou encore, aucun des deux points n'est adhérent à l'autre. Un espace est T1 si et seulement s'il est à la fois T0 et R0. Un « espace à unique limite séquentielle » (traduction libre du nom en anglais sous lequel cette notion est plus connue : space with unique sequential limit ou US-space) est un espace X dans lequel chaque suite convergente n'a qu'une limite, ou encore, tel que la diagonale est séquentiellement fermée dans X×X. Tout espace à unique limite séquentielle est T mais la réciproque est fausse. Un espace topologique X est faiblement séparé, ou faiblement Hausdorff, ou t lorsque pour tout espace compact K et toute application continue f de K dans X, l'image de K par f est fermée dans X. Tout espace faiblement séparé est T1 (mais pas nécessairement à unique limite séquentielle).