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Concept
Nombre de Bernoulli
Résumé
En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés B (ou parfois b pour ne pas les confondre avec les polynômes de Bernoulli ou avec les nombres de Bell), constituent une suite de nombres rationnels.
Ces nombres ont d'abord été étudiés par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes du type
Pour des valeurs entières de m, cette somme s'écrit comme un polynôme de la variable n dont les premiers termes sont :
Les premiers nombres de Bernoulli sont donnés par la table suivante :
On peut les définir par l'intermédiaire du développement en série entière (convergent si x < 2π) :
Les nombres de Bernoulli apparaissent dans de très nombreuses applications, depuis la formule d'Euler-Maclaurin :
ou les sommes définissant la fonction zêta de Riemann, dues à Leonhard Euler :
jusqu'à l'approche par Kummer du dernier théorème de Fermat.
thumb|Jakob Bernoulli, Summae Potestatum, extrait de Ars Conjectandi, 1713.
Les nombres A = 1/6, B = –1/30, C = 1/42, D = – 1/30, ... apparaissent dans Ars Conjectandi de Bernoulli, 1713, .
Les nombres de Bernoulli avec au lieu de sont la transformée binomiale des premiers et s'obtiennent à partir des nombres de Worpitzky ou, ce qui est équivalent, en appliquant l'algorithme d'Akiyama-Tanigawa à 1/(n+1).
À la suite de l'article « The Bernoulli Manifesto » de Peter Luschny, Donald Knuth a adopté la valeur , aussi dans les récentes réimpressions du livre Concrete Mathematics ; Knuth présente les nouvelles versions dans un texte à part.
Les nombres de Bernoulli ont été découverts à peu près en même temps et indépendamment par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli, dont ils portent le nom, et par le mathématicien japonais Seki Takakazu. La découverte de Seki a été publiée à titre posthume en 1712 dans son ouvrage Katsuyō Sanpō ; celle de Bernoulli, également à titre posthume, dans son Ars Conjectandi publié en 1713.
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