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Concept
Nombre de Liouville
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x ayant la propriété suivante :pour tout entier n, il existe des entiers q > 1 et p tels que 0 < |x – p/q| < 1/q
ou, ce qui est équivalent :
pour tout entier n et tout réel , il existe des entiers q > 0 et p tels que 0 < |x – p/q| < A/q.
Un nombre de Liouville peut ainsi être approché « de manière très fine » par une suite de nombres rationnels. En 1844, Joseph Liouville montra qu'il existe des nombres vérifiant la seconde propriété et que tous sont transcendants, établissant ainsi pour la première fois l'existence de nombres transcendants.
Pour illustrer son théorème, Liouville donne un procédé général de construction de tels nombres à l'aide de la théorie des fractions continues, ainsi que des exemples, mais indique une méthode plus simple : par exemple, pour tout entier est un nombre de Liouville. Ce furent les premiers exemples explicites de nombres transcendants.
La constante de Liouville correspond au cas b = 10. Il s'agit donc du réel
Plus généralement, pour tout entier b > 1 et toute suite (a) d'entiers compris entre 0 et b – 1 non tous nuls à partir d'un certain rang, le réel
est un nombre de Liouville.
L'ensemble des nombres de Liouville a donc la puissance du continu.
La mesure d'irrationalité d'un réel x — ou « sa constante de Liouville-Roth » — mesure la manière d'approcher x par des rationnels.
Cette mesure est toujours supérieure ou égale à 1, comme borne supérieure d'un ensemble qui contient ]–∞, 1[.
Par exemple :
la mesure d'irrationalité d'un rationnel est égale à 1 ;
celle d'un irrationnel est supérieure ou égale à 2 ; plus précisément, si la fraction continue de cet irrationnel est et a pour réduites , sa mesure d'irrationalité est .
celle d'un irrationnel algébrique est exactement égale à 2 : c'est le théorème de Roth (1955), plus précis que celui de Liouville .
les nombres de Liouville sont les réels dont la mesure d'irrationalité est infinie.
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