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Concept
Point isodynamique
Résumé
En géométrie euclidienne, les points isodynamiques du triangle sont des points associés à un triangle, telles qu'une inversion centrée en un de ces points transforme le triangle en un triangle équilatéral, et que les distances entre le point isodynamique aux sommets du triangle sont inversement proportionnelles aux longueurs des côtés opposés du triangle. Ce sont des centres du triangle, invariants par transformation de Möbius. Un triangle équilatéral n'a qu'un point isodynamique, en son centre de gravité ; les autres en ont deux. Les points isodynamiques ont d'abord été étudiés par Joseph Neuberg.
Les points isodynamiques ont été à l'origine définis à partir de certaines égalités de rapports (ou, de façon équivalente, de produits) de distances entre des paires de points. Si S et S' sont les points isodynamiques d'un triangle ABC, alors on a AS × BC = BS × AC = CS × AB. Des égalités analogues sont vérifiées pour le point S'. Neuberg appelle ces points "isodynamiques" en raison de cette propriété. De manière équivalente, les distances AS, BS et CS sont inversement proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle BC, AC et AB.
Les points S et S' sont les points d'intersection des trois cercles d'Apollonius associés au triangle ABC, les trois cercles passant par un sommet du triangle et maintenant un rapport de distances constant aux autres sommets. Ainsi, la droite SS' est l'axe radical des trois paires de cercles d'Apollonius. La médiatrice du segment [SS] est la droite de Lemoine du triangle, qui passe par les centres des cercles d'Apollonius.
Les points isodynamiques S et S' d'un triangle ABC peuvent être définies par leurs propriétés après transformations du plan, et particulièrement les inversions et les transformations de Möbius (produis d'inversions multiples).
L'inversion du triangle ABC par rapport à un des points isodynamiques transforme en effet le triangle ABC en un triangle équilatéral.
L'inversion par rapport au cercle circonscrit du triangle ABC laisse le triangle invariant mais envoie un des points isodynamiques sur l'autre.
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