Conjugué isogonal

En géométrie, le conjugué isogonal d'un point dans un triangle est le point où concourent les droites symétriques, par rapport aux bissectrices, des droites passant par chaque sommet et ce point. vignette Antiparallèle (mathématiques) Deux couples de droites (d, d) et (Δ, Δ') sont antiparallèles si les bissectrices des angles qu'ils forment ont même direction. Les angles de droites (d, Δ) et (Δ', d) sont égaux (modulo π). On dit que d''' est antiparallèle à d par rapport à (Δ, Δ'). Quatre points A, B, C et D tels que trois d'entre eux ne sont pas alignés sont cocycliques si et seulement si les droites (AB) et (DC) sont antiparallèles par rapport aux droites (AD) et (BC). 500px|center Si deux couples de droites (d, d) et (Δ, Δ') sont antiparallèles et concourants, on dit qu'ils sont isogonaux. Lorsqu'une droite est antiparallèle à un côté d'un triangle par rapport aux deux autres, on sous-entend assez souvent les deux derniers côtés. On dira : « dans le triangle ABC, la droite (d) est antiparallèle à (AB) » à la place de « la droite (d) est antiparallèle à (AB) par rapport à (CA) et (CB) ». Deux couples de droites concourantes (d, d) et (Δ, Δ') sont isogonaux s'ils sont antiparallèles. Ils ont les mêmes bissectrices. Les angles de droites (d, Δ) et (Δ', d) sont égaux (modulo π). On dit que d''' est isogonale à d par rapport à (Δ, Δ'). Soit d, Δ, Δ' trois droites concourantes. La droite d symétrique de d par rapport à la bissectrice intérieure de Δ et Δ' est isogonale à d par rapport à (Δ, Δ'). 500px|center Soit (Δ) et (Δ') deux droites concourantes en A, M et N deux points sur deux droites (d) et (d') concourantes en A. M1 et N1 sont les projections orthogonales de M et N sur (Δ), M2 et N2 sur (Δ'). Les deux couples de droites (Δ, Δ') et (d, d''') sont isogonaux si et seulement si les points M1N1M2N2 sont cocycliques. Le centre O du cercle est le milieu de [MN]. (M1M2) est orthogonale à (d), (N1N2) est orthogonale à (d) Soit P un point distinct des sommets du triangle ABC et n'appartenant pas au cercle circonscrit, P1, P2, P3 sont les projections orthogonales de P sur les côtés du triangle.