Théorème de plongement de Nash

En géométrie différentielle, le théorème de plongement de Nash, dû au mathématicien John Forbes Nash, affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien. « De manière isométrique » veut dire « conservant la longueur des courbes ». Une conséquence de ce théorème est que toute variété riemannienne peut être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien. Il existe deux théorèmes de plongement de Nash : Le premier (1954), portant sur les variétés de classe C1. Il est peu intuitif mais se démontre facilement. Le second (1956), portant sur les variétés de classe Ck où k ≥ 3. Celui-ci est plus intuitif que le premier, mais se démontre difficilement. Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m et un plongement lisse et non expansif de M dans un espace euclidien Rn où . Alors pour tout ε>0, il existe un plongement de M dans Rn ayant les propriétés suivantes : est de classe C, est isométrique, i.e. pour tous vecteurs de l'espace tangent à M en un point on a où < , > est le produit scalaire canonique de Rn. pour tout point de . Ce théorème a beaucoup de conséquences contre-intuitives. En particulier, d'après le théorème de plongement de Whitney, toute variété riemannienne compacte de dimension m admet un plongement isométrique de classe C dans une boule arbitrairement petite de l'espace euclidien de dimension 2m. Par exemple : toute surface orientée et fermée peut être C-plongée dans une boule arbitrairement petite de R (d'après la formule de Gauss-Bonnet, cela n'est plus vrai pour les plongements de classe C ; la question est ouverte pour les plongements C). Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m (analytique ou de classe Ck avec k ≥ 3). Alors il existe un nombre n (n=m(m+1)(3m+11)/2 suffit, et même n=m(3m+11)/2 si M est compacte) et un plongement injectif de dans Rn, également analytique ou de classe Ck, tel que pour tous vecteurs de l'espace tangent à M en un point on ait : dont les références étaient : N. H. Kuiper, « On C1-isometric imbeddings I », dans Nederl.