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Concept
Variété riemannienne
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la variété riemannienne est l'objet de base étudié en géométrie riemannienne.
Il s'agit d'une variété, c'est-à-dire un espace courbe généralisant les courbes (de dimension 1) ou les surfaces (de dimension 2) à une dimension n quelconque, et sur laquelle il est possible d'effectuer des calculs de longueur.
En termes techniques, une variété riemannienne est une variété différentielle munie d'une structure supplémentaire appelée métrique riemannienne permettant de calculer le produit scalaire de deux vecteurs tangents à la variété en un même point. Cette métrique permet de définir la longueur d'un chemin entre deux points de la variété, puis les géodésiques qui répondent à un problème de plus court chemin. Les concepts fondamentaux qu'on associe à la variété riemannienne sont la connexion de Levi-Civita et la courbure.
Une variété riemannienne est la donnée d'une variété différentielle et, en chaque point , d'une forme quadratique définie positive sur l'espace tangent avec des hypothèses de régularité supplémentaires. Les espaces tangents sont des espaces euclidiens. Les hypothèses de régularité s'énoncent de deux manières équivalentes :
L'application est une section globale de classe C du fibré vectoriel ;
Pour tous champs de vecteurs de , l'application est de classe C.
La donnée est appelée métrique riemannienne sur .
Les métriques riemanniennes existent sur toute variété différentielle (paracompacte) et forment un cône convexe fermé de (avec des topologies raisonnables).
Si et sont deux variétés riemanniennes, une isométrie locale est une application différentiable vérifiant . Autrement dit, les différentielles sont des applications linéaires isométriques. Par le théorème d'inversion locale, toute isométrie locale est un difféomorphisme local.
Une isométrie (globale) est une isométrie locale bijective.
Les variétés riemanniennes sont les exemples les plus élémentaires de variétés de Finsler.
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