Nombre surréel

vignette|Représentation d'une partie de l'arbre des nombres surréels. En mathématiques, les nombres surréels sont les éléments d'une classe incluant celle des réels et celle des nombres ordinaux transfinis, et sur laquelle a été définie une structure de corps ; ceci signifie en particulier que l'on définit des inverses des nombres ordinaux transfinis ; ces ordinaux et leurs inverses sont respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif. Les surréels ne forment pas un ensemble au sens de la théorie usuelle. Les nombres surréels ont été introduits par John Conway et popularisés par Donald Knuth en 1974 dans son livre Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (littéralement Les Nombres surréels : comment deux ex-étudiants se mirent aux mathématiques pures et trouvèrent le bonheur total). Les nombres pseudo-réels, également introduits par Knuth, sont une sur-classe des nombres surréels, construits avec des conditions plus faibles que ces derniers. La construction des nombres surréels est similaire à la construction des nombres réels via les coupures de Dedekind, mais utilise le concept de récurrence transfinie. Elle repose sur la construction de nouveaux nombres représentés grâce à deux ensembles de nombres déjà construits, et (pour left et right, gauche et droite), éventuellement vides. Le nouveau nombre ainsi construit, noté , sera plus grand que tout nombre de et plus petit que tout nombre de , selon un ordre qui sera défini plus loin. Pour que cela soit possible, on impose une restriction sur et : il faut que chaque nombre de soit plus petit que chaque nombre de . Soient et deux ensembles de nombres surréels tels que : pour tout et tout , (version stricte de la relation d'ordre large définie plus bas). Alors, est un nombre surréel. Étant donné un nombre surréel , on appelle et l'ensemble de gauche et l'ensemble de droite de , respectivement. Pour éviter l'inflation d'accolades, on abrégera en , en et en .