Corps réel clos

En mathématiques, un corps réel clos est un corps totalement ordonnable dont aucune extension algébrique propre n'est totalement ordonnable. Les corps suivants sont réels clos : le corps des réels, le sous-corps des réels algébriques, le corps des réels calculables (au sens de Turing), le corps des , le corps des séries de Puiseux à coefficients réels, tout corps superréel (en particulier tout corps hyperréel). Un corps commutatif F est réel clos (selon la définition de l'introduction) si et seulement s'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes : F est euclidien et tout polynôme de degré impair à coefficients dans F admet au moins une racine dans F ; –1 n'est pas un carré dans F et F() est algébriquement clos ; la clôture algébrique de F est une extension finie propre de F ; il existe un ordre sur F pour lequel le théorème des valeurs intermédiaires est vrai pour tout polynôme sur F. Une démonstration de l'implication 1 ⇒ 2 (attribuée par Nicolas Bourbaki à Euler et Lagrange) est donnée dans l'article consacré au théorème de d'Alembert-Gauss. Emil Artin et Otto Schreier ont démontré en 1927 que pour tout corps totalement ordonné K, il existe un corps réel clos algébrique sur K et dont l'ordre prolonge celui de K. Cette extension, unique à isomorphisme près, est appelée la clôture réelle de K. Par exemple, « la » clôture réelle de Q est le corps R∩ des réels algébriques, d'après la caractérisation 2 ci-dessus. On peut remarquer que d'après la caractérisation 3, c'est « l'unique » extension algébrique de Q dont « la » clôture algébrique est une extension finie propre. De plus, pour tout sous-corps « réel » (c'est-à-dire totalement ordonnable) d'un corps algébriquement clos , il existe un sous-corps intermédiaire réel clos tel que . La théorie des corps réels clos est une théorie du premier ordre dont les symboles non logiques sont les constantes 0 et 1, les opérations arithmétiques +, ×, et la relation ≤ ; les formules sont construites à partir des formules atomiques via les connecteurs ⋀, ⋁, ⇒, et les quantificateurs ∀, ∃ ; les axiomes sont ceux qui expriment que la structure est précisément un corps réel clos.