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Concept
Perturbation singulière
Résumé
En mathématiques, un problème de perturbation singulière est un problème dépendant d'un petit paramètre qui ne peut être approché en fixant ce paramètre à 0. Il ne peut donc être approché uniformément par un développement asymptotique
avec ε → 0. Ici, ε est le petit paramètre du problème et les fonctions δ(ε) une suite de fonctions d'ordre croissant en ε. Ce type de problème s'oppose à ceux avec une perturbation régulière, où une approximation uniforme de cette forme peut être obtenue. Les problèmes de perturbation singulière se trouvent souvent dans des modèles dynamiques fonctionnant sur différentes échelles.
Le terme « perturbation singulière » est défini dans les années 1940 par Kurt Friedrichs et Wolfgang Wasow.
Un problème perturbé dont la solution peut être approchée sur tout le domaine de définition, en espace ou en temps, par un simple développement asymptotique a une perturbation dite régulière. Or, le plus souvent dans les applications, une approximation acceptable à un problème régulièrement perturbé est retrouvé en fixant le paramètre ε caractérisant la perturbation à 0 sur tout le domaine de définition. Cela revient à ne prendre que le premier terme du développement asymptotique, qui permet d'obtenir une approximation convergent vers la vraie solution à mesure que ε devient petit. Cette méthode ne fonctionne pas dans le cas d'une perturbation singulière : si le paramètre ε est lié au terme de plus grand ordre, le fixer à 0 change la nature du problème. On peut ainsi avoir des conditions aux limites impossibles à satisfaire pour une équation différentielle, ou un nombre de solutions différent pour une équation polynomiale.
Pour étudier ces problèmes, on trouve la ou l'approximation BKW dans les problèmes en espace, en temps, la , la superposition multi-échelles et le moyennage périodique.
Les équations différentielles contenant un petit paramètre qui pré-multiplient le terme de plus grand ordre montrent des couches limites, de sorte que la solution évolue sur deux échelles différentes.
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