Concept
Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée (titre original, en allemand : Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) est un article de 8 pages écrit par Bernhard Riemann et publié dans l'édition de novembre 1859 des Rapports mensuels de l'Académie de Berlin. Bien que ce soit le seul article qu'il ait publié sur la théorie des nombres, il contient des idées qui ont influencé des milliers de chercheurs depuis la fin du jusqu'à nos jours, en particulier la formulation de ce qu'on appelle désormais l'hypothèse de Riemann. L'article contient d'abord des définitions, des arguments heuristiques, des esquisses de preuves et l'application de méthodes analytiques puissantes ; toutes celles-ci sont devenues des concepts essentiels et des outils de la théorie analytique des nombres moderne. Parmi les nouvelles définitions introduites : le prolongement analytique de la fonction zêta de Riemann ζ(s) à tous les nombres complexes s différents de 1 ; la fonction entière ξ(s) ; la fonction discrète J(x) définie pour x ≥ 0, qui est définie par J(0) = 0 et telle que J(x) saute par bonds de 1/n à chaque puissance de nombre premier p (autrement dit, entre deux puissances de nombres premiers p et q, J est constante, et J(q) = J(p) + 1/n). Parmi les preuves et les esquisses de preuves : deux preuves de l'équation fonctionnelle de ζ(s) ; la preuve de la représentation par produit de ξ(s) ; la preuve de l'approximation du nombre de racines de ξ(s) dont les parties imaginaires sont situées entre 0 et T. Parmi les conjectures produites : l'hypothèse de Riemann : tous les zéros (non triviaux) de ζ(s) ont une partie réelle égale à 1/2. De nouvelles méthodes et techniques utilisées en théorie des nombres : prolongement analytique (différent du sens de Weierstrass) ; intégrale curviligne ; inversion de Fourier. Riemann discuta aussi des relations entre ζ(s) et la distribution des nombres premiers, utilisant la fonction J(x) essentiellement comme une mesure pour l'intégration de Stieltjes.
