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Concept
Logarithme intégral
Résumé
En mathématiques, le logarithme intégral li est une fonction spéciale définie en tout nombre réel strictement positif x ≠ 1 par l'intégrale :
où ln désigne le logarithme népérien.
La fonction n'est pas définie en t = 1, et l'intégrale pour x > 1 doit être interprétée comme la valeur principale de Cauchy :
Quand x tend vers +∞, on a l'équivalence
c'est-à-dire que
D'après le théorème des nombres premiers, la fonction de compte des nombres premiers π(x) est équivalente à x/ln(x), donc à li(x), qui en fournit par ailleurs une meilleure approximation.
La fonction li est liée à l'exponentielle intégrale Ei par la relation li(x) = Ei (ln (x)) pour tout nombre réel strictement positif x ≠ 1. Ceci mène aux développements en séries de li(x), comme :
où γ ≈ est la constante d'Euler-Mascheroni.
On en déduit le développement au voisinage de 1 du logarithme intégral : .
La fonction li a une seule racine, elle se trouve en x ≈ ; ce nombre est connu comme étant la constante de Ramanujan-Soldner.
La fonction d'écart logarithmique intégrale est une fonction spéciale Li(x) très similaire à la fonction logarithme intégral, définie de la façon suivante :
Une valeur approchée de li(2) est 1,045 163 8, alors que Li(2) = 0.
On peut montrer à l'aide d'intégrations par parties successives que, pour tout entier n, on a le développement asymptotique suivant à l'infini de Li (donc aussi de li) :
Pour n = 0, on retrouve l'équivalent ci-dessus.
Comme dit dans la section « Équivalent », le théorème des nombres premiers établit que:
où exprime la quantité de nombres premiers inférieurs à .
Avec l'hypothèse de Riemann, l'estimation suivante plus forte est possible :
Pour des petits , , mais on sait, indépendamment de l'hypothèse de Riemann, que cette différence change de signe un nombre infini de fois quand augmente. La première occurrence devrait survenir au voisinage de 1.4×10316.
Cosinus intégral
Sinus intégral
Intégrale non élémentaire
Constante de Ramanujan-Soldner
Théorème des nombres premiers
Nombre de Skewes
Catégorie:Analyse réelle
Caté
Source officielle
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