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Concept
Théorie supersymétrique de la dynamique stochastique
Résumé
La théorie supersymétrique de la dynamique stochastique (TSDS) est une théorie exacte des équations différentielles (partielles) stochastiques (EDS). Elle représente une classe de modèles mathématiques très large qui décrit, en particulier, tous les systèmes dynamiques à temps continu, avec et sans bruit. Du point de vue physique, son utilité tient en une explication théorique rigoureuse du comportement omniprésent d'une dynamique spontanée à longue portée qui se manifeste dans de très nombreuses disciplines via des phénomènes tels que la loi en 1/f, le scintillement, les bruits de crépitement et les statistiques de loi de puissance, ou loi de Zipf, ainsi que des processus instantanés comme les tremblements de terre et les avalanches neurales. D'un point de vue mathématique, TSDS relie deux grandes parties de la physique mathématique - la théorie des systèmes dynamiques et la théorie topologique des champs. Outre ces disciplines principales et connexes telles que la topologie algébrique et les théories des champs supersymétriques, TSDS est également reliée à la théorie traditionnelle des équations différentielles stochastiques et à la théorie des opérateurs pseudo-hermitiens.
La théorie apparait lors de la procédure de fixation de jauge BRST de l'EDS de Langevin, qui a ensuite été adaptée à la mécanique classique et sa généralisation stochastique, puis aux EDS de Langevin d'ordre élevé et, plus récemment, aux EDS de formes arbitraires. Ces travaux ont permis de relier le formalisme BRST au concept d'opérateurs de transfert et d'identifier la brisure spontanée de la supersymétrie BRST comme une généralisation stochastique d'un chaos dynamique.
Cette théorie étudie principalement l'évolution temporelle de formes différentielles définies par l'EDS elle-même, plutôt que les trajectoires produites par cette équation. Lors de la dynamique, l'évolution temporelle de ces formes différentielles présente une supersymétrie topologique qui matérialise la préservation d'une certaine structure topologie et/ou du concept de proximité de la mesure dans l'espace des phases.
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