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Concept
Équation différentielle stochastique
Résumé
Une équation différentielle stochastique (EDS) est une généralisation de la notion d'équation différentielle prenant en compte un terme de bruit blanc. Les EDS permettent de modéliser des trajectoires aléatoires, tels des cours de bourse ou les mouvements de particules soumises à des phénomènes de diffusion. Elles permettent aussi de traiter théoriquement ou numériquement des problèmes issus de la théorie des équations aux dérivées partielles.
Les domaines d'application des EDS sont vastes : physique, biologie, dynamique des populations, écologie, mathématiques financières, traitement du signal, théorie du contrôle...
Le mouvement brownien, nommé ainsi en hommage au botaniste Robert Brown, décrit le mouvement d'une particule soumise à une infinité de chocs en des temps très courts, et ses trajectoires sont erratiques. Elles ont les propriétés suivantes :
si l'on connaît la position de la particule à un instant , alors la loi de sa position spatiale à un instant ultérieur ne dépend que de sa position à cet instant . Autrement dit, le passé, c'est-à-dire la trajectoire de la particule à des instants antérieurs à , n'a aucune influence sur ses déplacements futurs. Cette propriété s'appelle la propriété de Markov ;
les particules bougent continûment dans l'espace ;
la loi de la position de la particule entre deux instants et ne dépend que de . Les accroissements sont alors stationnaires ;
en fait, si désigne la position de la particule à un instant , alors la loi de et de avec sont indépendants l'un de l'autre. Nous dirons alors que les accroissements sont indépendants. En fait, cette propriété implique la propriété de Markov ;
de ces deux derniers faits, et dans l'esprit du théorème central limite, il est alors possible de montrer que suit une loi normale de moyenne et de variance .
En d'autres termes, la dynamique de la particule est la même quelle que soit sa position dans l'espace, et si l'on tourne les coordonnées de l'espace à l'aide d'une rotation, un mouvement brownien reste un mouvement brownien : la particule évolue dans un environnement homogène et isotrope.
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