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Concept
Module artinien
Résumé
En théorie des anneaux, un module artinien (du nom d'Emil Artin) est un module vérifiant la condition de chaîne descendante.
Définition
On dit qu'un module M vérifie la condition de chaîne descendante si toute suite décroissante de sous-modules de M est stationnaire. Cela équivaut à dire que tout ensemble non vide de sous-modules de M admet un élément minimal (pour la relation d'inclusion).
Exemples
- Tout module fini est artinien. En particulier, tout groupe abélien fini est artinien (en tant que ℤ-module).
- Tout espace vectoriel de dimension finie sur un corps k est artinien comme k-module.
- Soit p un nombre premier. Dans le groupe quotient ℚ/ℤ, le sous-groupe formé par les éléments ayant pour ordres des puissances de p, autrement dit le p-groupe de Prüfer, est un ℤ-module artinien (ses sous-groupes sont lui-même ou des groupes finis).
- Tout anneau artinien A est (par définition) un A-module artinien.
- La classe des modules a
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