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Concept
Théorie de la stabilité
Résumé
En mathématiques, la théorie de la stabilité traite la stabilité des solutions d'équations différentielles et des trajectoires des systèmes dynamiques sous des petites perturbations des conditions initiales. L'équation de la chaleur, par exemple, est une équation aux dérivées partielles stable parce que des petites perturbations des conditions initiales conduisent à des faibles variations de la température à un temps ultérieur en raison du principe du maximum. Plus généralement, un théorème est stable si des petits changements dans l'hypothèse conduisent à des petites variations dans la conclusion. Il faut spécifier la métrique utilisée pour mesurer les perturbations afin de juger qu’un théorème est stable. Dans les équations aux dérivées partielles, on peut mesurer les distances entre les fonctions à l'aide des normes L ou la norme sup, tandis qu'en géométrie différentielle, on peut mesurer la distance entre les espaces en utilisant la distance de Gromov-Hausdorff.
Dans les systèmes dynamiques, une orbite est dite Liapounov stable si l'orbite en avant de tout point est dans un assez petit voisinage ou si elle reste dans un petit voisinage. Différents critères ont été développés pour prouver la stabilité ou l'instabilité d'une orbite. Dans des circonstances favorables, la question peut être réduite à un problème bien étudié impliquant valeurs propres de matrices. Une méthode plus générale implique des fonctions de Liapounov.
De nombreuses parties de la théorie qualitative des équations différentielles et des systèmes dynamiques traitent les propriétés asymptotiques des solutions et des trajectoires - ce qui se passe avec le système après une longue période de temps. Le type le plus simple du comportement se manifeste par des points d'équilibre, ou de points fixes et par des orbites périodiques. Si une orbite particulière est bien comprise, il est naturel de se demander ensuite si un petit changement dans l'état initial va conduire à un comportement similaire.
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