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Concept
Conjugaison topologique
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement dans la théorie des systèmes dynamiques, deux fonctions et sont dites topologiquement conjuguées (ou simplement conjuguées lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion avec, par exemple, la conjugaison complexe) s'il existe un homéomorphisme tel que (où note la composition des fonctions). Deux fonctions conjuguées ont les mêmes propriétés dynamiques (par exemple le même nombre de points fixes), d'où l'importance de cette notion dans l'étude en particulier des suites définies par itération.
Dans tout ce qui suit, , et notent des applications continues entre des espaces topologiques et .
est semiconjuguée (topologiquement) à s'il existe une surjection telle que .
et sont topologiquement conjuguées si est bijective, et si la bijection réciproque est également continue, autrement dit si est un homéomorphisme ; on dit dans ce cas que conjugue et , et on a .
Si , la conjugaison est une relation d'équivalence, puisque (où est l'identité de ), et .
La conjugaison s'étend aux itérées d'une fonction, puisque .
Si et sont conjuguées par , et si est un point fixe de (donc si ), alors , et donc est un point fixe de ; plus généralement, est une bijection entre les points fixes de et ceux de .
Si une suite d'éléments de est définie par , la suite définie par et le même schéma de récurrence vérifie (pour tout ) , et donc la même périodicité que la suite ; de plus, les applications étant continues, si la suite converge vers , alors la suite converge vers .
L'application logistique , l'application de Mandelbrot et l'application de la tente sont conjuguées.
Les transformations de Möbius de la sphère de Riemann (distinctes de l'identité), (avec ) se répartissent en deux classes d'équivalence selon qu'elle sont conjuguées à une translation (si) ou à une homothétie (si) ; de plus, on peut conjuguer deux transformations de la même classe par une autre transformation de Möbius.
Source officielle
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