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Concept
Flot (mathématiques)
Résumé
Le flot, coulée ou encore courant est, en mathématiques, un concept fondamental utilisé en géométrie différentielle.
La notion de flot permet notamment de modéliser le déplacement dans le temps des éléments d'un fluide. Pour ce faire, on crée une application α qui, à chaque point x de l'espace concerné par l'écoulement, associe un autre point α(x,t), correspondant à la position qu'aurait une particule du fluide à l'instant t, si elle avait été située en x à l'instant 0.
thumb|Flot associé à l'équation différentielle d'un pendule. Les abscisses représentent la position et les ordonnées la vitesse.
Le flot est associé à la notion de champ de vecteurs, c'est-à-dire à une application f, qui, à un point x d'un ouvert Ω d'un espace de Banach E, associe un vecteur de E. Un tel champ définit une équation différentielle du type α'(t) = f(α(t)), (c'est à dire, dans l'exemple du fluide, que la fonction f associe au point x à l'instant t, ses direction et vitesse de déplacement). Si la fonction f est localement lipschitzienne, pour chaque point x de Ω, il existe une solution maximale α du problème de Cauchy constitué de cette équation différentielle et de la condition dite de Cauchy α(0) = x. Vue comme une fonction de deux variables, t et x, l'application α est appelée le flot du champ f de vecteurs. Cette définition se généralise dans le cas d'un champ de vecteurs temporel (c'est-à-dire dépendant d'une variable t qui prend ses valeurs dans R) et dépendant d'un paramètre λ. Le flot et le champ de vecteurs deviennent des fonctions de trois variables : t, x et λ.
Si le champ de vecteurs f est régulier, le flot est le support de plusieurs théorèmes, piliers de la théorie des équations différentielles. Si la fonction f est de classe C, le flot l'est aussi. Ce résultat est parfois considéré comme une forme avancée du théorème de Cauchy-Lipschitz. Si la fonction f ne dépend pas du temps, le théorème du redressement du flot indique que, localement, le champ de vecteurs est équivalent à un champ constant et cette équivalence transforme le flot en une fonction qui à (x, t) associe x + tv, où v est l'unique image du champ constant.
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