Apeirogone

En géométrie, un apeirogone (du "ἄπειρος" apeiros : infini, sans bornes, et "γωνία" gonia : angle) est un polygone généralisé ayant un nombre infini (dénombrable) de côtés. Le plus souvent, le terme désigne un polygone régulier convexe (tous les angles et tous les côtés sont égaux, et les côtés ne se croisent pas) ; il n'existe pas à ce sens d'apeirogone non trivial en géométrie euclidienne, mais il y en a plusieurs familles (non semblables les unes aux autres) en géométrie hyperbolique. H. S. M. Coxeter part de la donnée, dans un espace euclidien, d'un point de base A0 et d'une translation S ; l'ensemble des itérés Ai = Si(A0) (avec ) et des arêtes reliant les sommets adjacents et définit un apeirogone (régulier). On peut aussi interpréter cette construction comme le partage d'une droite en segments d'égale longueur. La construction classique d'un polygone régulier du plan euclidien (par une suite de rotations de autour d'un centre bien choisi) peut s'adapter en itérant des rotations du segment autour du point et d'angle (le point devenant le point ) ; si on remplace ce dernier angle par un angle quelconque, on n'obtient qu'un polygone régulier étoilé, ou une ligne polygonale ne se refermant pas, mais restant inscrite dans une couronne circulaire. En revanche, en géométrie hyperbolique (et en prenant pour courbure ), si on part d'un côté de longueur a et d'un angle la suite des segments s'éloigne à l'infini ; l'ensemble des , qu'on appelle un apeirogone d'angle et de côté a, est inscrit dans un horocycle si , et dans un hypercycle si (certains auteurs réservent le nom d'apeirogone à ceux inscrits dans des horocycles). Un polytope abstrait est un ensemble partiellement ordonné d'objets (les faces) dont la relation d'ordre modélise l'inclusion des faces de polytopes concrets. Le cas particulier des polygones abstraits correspond à un ordre partiel sur certains sous-ensembles d'un ensemble de sommets : les sommets eux-mêmes, certains ensembles de deux sommets (les arêtes) et les deux sous-ensembles triviaux vide et plein, chaque sommet appartenant exactement à deux arêtes, et le graphe formé des sommets et des arêtes étant connexe ; si l'ensemble des sommets est infini dénombrable, on parle d'un apeirogone abstrait; il est unique à isomorphisme près.