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Concept
Connexion d'Ehresmann
Résumé
En géométrie différentielle, une connexion d'Ehresmann (d'après le mathématicien français Charles Ehresmann qui a le premier formalisé ce concept) est une version de la notion de connexion qui est définie sur des fibrés. En particulier, elle peut être non-linéaire, puisqu'un espace fibré n'a pas de notion de linéarité qui lui soit naturellement adaptée. Cependant, une connexion de Koszul (parfois aussi appelée connexion linéaire) en est un cas particulier. Un autre cas important est celui des sur un fibré principal, auxquelles on impose d'être sous l'action principale du groupe de Lie.
Soit un fibré C∞. On note
le . Canoniquement associé au fibré originel, il est constitué des vecteurs tangents aux fibres de E. Ainsi la fibre de V en un point e de E est l'espace tangent à . En revanche il n'existe pas de choix canonique de trivialisation du fibré, donc pas de façon canonique de considérer des vecteurs horizontaux, c'est-à-dire « parallèles à la base ». C'est là qu'intervient le choix d'une connexion.
Une connexion d'Ehresmann sur E est un sous-fibré régulier H de TE, appelé le de la connexion, qui est un supplémentaire de V, dans le sens où il définit une décomposition en somme directe : .
De façon plus détaillée, le fibré horizontal a les propriétés suivantes :
Pour chaque point e de E, He est un sous-espace vectoriel de l'espace tangent TeE à E en e, appelé le "sous-espace horizontal" de la connexion en e.
He dépend régulièrement de e.
Pour chaque e ∈ E, He ∩ Ve = {0}.
Chaque vecteur tangent de TeE (pour chaque e∈E) est la somme d'une composante horizontale et d'une composante verticale, de telle sorte que TeE = He + Ve.
forme de connexion
On peut proposer une présentation équivalente à la précédente. Soit v la projection sur le fibré vertical V selon H (de telle sorte que H = ker v). Elle est déterminée par la décomposition en "somme directe" de TE en ses parties verticale et horizontale mentionnée ci-dessus. Elle est parfois appelée la forme de connexion de la connexion d'Ehresmann.
Source officielle
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