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Concept
Fonction de répartition
Résumé
En théorie des probabilités, la fonction de répartition, ou fonction de distribution cumulative, d'une variable aléatoire réelle X est la fonction F_X qui, à tout réel x, associe la probabilité d’obtenir une valeur inférieure ou égale :
Cette fonction est caractéristique de la loi de probabilité de la variable aléatoire. Elle permet de calculer la probabilité de chaque intervalle semi-ouvert à gauche ]a, b] où a < b, par
La fonction de répartition d'une mesure de probabilité définie sur la tribu borélienne est la fonction F qui à tout réel x associe
La fonction de répartition F d'une variable aléatoire X de densité de probabilité f est une des primitives (en un sens un peu relâché, voir ci-dessous) de cette densité f. Plus précisément, F est définie, pour tout nombre réel x, par :
Toutefois, ce n'est pas, en toute généralité, une primitive au sens strict du terme : on peut seulement affirmer :
qu'une fonction de répartition est dérivable presque partout (pour la mesure de Lebesgue) ;
que si la variable X est à densité, alors la dérivée de F est presque partout (pour la mesure de Lebesgue) égale à f.
Mais il y a beaucoup de « contre-exemples » : la fonction de répartition de la loi uniforme sur un intervalle, ou encore celle de la loi exponentielle, ne sont pas dérivables sur tout et ne sont donc pas, au sens strict, des primitives de densités de probabilités.
Notons que, contrairement aux variables discrètes, une variable à densité X vérifie pour tout nombre réel a : en conséquence, la fonction de répartition des variables à densité est continue en tout point. En fait une variable aléatoire réelle X possède une densité de probabilité si et seulement si sa fonction de répartition est absolument continue sur chaque intervalle borné.
Une variable aléatoire X est dite discrète si son support S est fini ou dénombrable, ou bien, de manière équivalente, s'il existe un ensemble A fini ou dénombrable tel que :
La loi de X est déterminée sans ambiguïté par la donnée de (p) ou de (p), où
Si, par exemple, X est une variable aléatoire réelle, on a
où 1 est la fonction indicatrice de l'ensemble E.
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