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Concept
Courbe de largeur constante
Résumé
En géométrie, une courbe de largeur constante est une courbe plane fermée dont la largeur, mesurée par la distance entre deux droites parallèles opposées qui lui sont tangentes, est la même quelle que soit l'orientation de ces droites.
Soit une courbe plane fermée. Pour une direction donnée, on peut définir deux droites parallèles (appelées « lignes d'appui ») qui lui sont tangentes en deux points distincts. La courbe est dite de largeur constante si la distance entre les lignes d'appui est indépendante de leur direction. Cette distance est la largeur de la courbe.
Pour une courbe de largeur constante, il existe un carré auquel elle est tangente sur au moins deux côtés, quelle que soit son orientation.
Toute courbe de largeur constante est convexe.
Pour une largeur b donnée, le périmètre d'une courbe de largeur constante est indépendant de sa forme et est égal à π×b. Ce résultat, nommé théorème de Barbier, fut obtenu par Joseph Émile Barbier.
La largeur d'une telle courbe est inférieure à son diamètre topologique. Dans le plan réel muni de la distance euclidienne, les deux valeurs se confondent.
Le cercle est la courbe de largeur constante qui, pour une largeur donnée, entoure la plus grande aire (résultat découlant du théorème isopérimétrique et du théorème de Barbier). Inversement, pour une largeur donnée, la courbe de largeur constante possédant la plus petite aire est le triangle de Reuleaux (théorème de Blaschke-Lebesgue).
Les pièces de monnaie britanniques de 20 et 50 pence possèdent un contour de largeur constante. Leur forme d'heptagone curviligne permet d'économiser du métal sans gêner la reconnaissance de ces pièces par les automates rendant la monnaie : ces automates mesurent en effet une largeur identique quelle que soit l'orientation des pièces. C'est également le cas de la pièce de 1 dollar canadien, qui a pour sa part 11 côtés.
Il existe un polynôme f de degré 8 dont le graphe (c'est-à-dire l'ensemble des points (x,y) de vérifiant f(x,y)=0) est une courbe non circulaire de largeur constante.
Source officielle
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