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Concept
Symbole de Hilbert
Résumé
En mathématiques, le symbole de Hilbert est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les corps de nombres p-adiques, mais aussi un objet permettant de formuler certaines , et intéressant pour la théorie des corps de classes ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de symbole sur un corps, qui est un concept important en K-théorie algébrique.
Le symbole de Hilbert (a, b) de deux éléments non nuls a et b d'un corps K est 1 ou –1, suivant que l'équation ax + by = 1 admet ou non une solution (x, y) dans K. Une telle équation revient en fait à se demander si a est une norme dans l'extension a priori quadratique K().
Cette définition se généralise, pour un corps local K, en une fonction (–, –) de K* × K* dans le groupe des racines de l'unité de K. Avec ce point de vue, en considérant tous les symboles de Hilbert définis sur le corps des réels et les différents corps Q de nombres p-adiques, on parvient à une formulation de la loi de réciprocité quadratique, et plus généralement à la loi de réciprocité pour les puissances n-ièmes.
Ce symbole a été introduit par Hilbert dans son Zahlbericht, à la différence près que sa définition concernait les corps globaux. Il a été généralisé aux .
Sur un corps local K, dont le groupe multiplicatif des éléments non nuls est noté K*, le symbole de Hilbert quadratique est la fonction (–, –) de K* × K* dans {–1, 1} définie par
Les trois propriétés suivantes résultent directement de la définition, en choisissant des solutions appropriées de l'équation diophantienne ci-dessus :
si a est un carré, alors (a, b) = 1 pour tout b ;
pour tous a, b dans K*, (a, b) = (b, a) ;
pour tout a dans K* tel que a – 1 soit aussi dans K*, on a (a, 1 – a) = 1.
La (bi)multiplicativité, i.e. pour tous a, b et b dans K*
est, quant à elle, plus difficile à démontrer et nécessite le développement de la théorie du corps de classe local.
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