Algèbre de quaternions

En mathématiques, une algèbre de quaternions sur un corps commutatif K est une K-algèbre de dimension 4 qui généralise à la fois le corps des quaternions de Hamilton et l'algèbre des matrices carrées d'ordre 2. Pour être plus précis, ce sont les algèbres centrales simples sur K de degré 2. Dans cet article, on note K un corps commutatif (de caractéristique quelconque). On appelle algèbre de quaternions sur K toute algèbre (unitaire et associative) A de dimension 4 sur K qui est simple (c'est-à-dire que A et {0} sont les seuls idéaux bilatères) et dont le centre est K. On appelle corps de quaternions sur K toute algèbre de quaternions sur K dont l'anneau sous-jacent est un corps. Exemples Le seul corps de quaternions sur R (à isomorphisme près) est le corps H des quaternions de Hamilton. L'algèbre M2(K) des matrices carrées d'ordre 2 est une algèbre de quaternions sur K. Elle est isomorphe à l'algèbre EndK(E) des endomorphismes de tout plan vectoriel E sur K. Soit A une algèbre de quaternions sur K. Une involution d'algèbre de A est un endomorphisme d'espace vectoriel de A qui est involutif (J2 = IdA) et qui est un antihomomorphisme d'anneaux (J(xy) = J(y)J(x) quels que soient x et y dans A). Il existe une unique involution d'algèbre J de A telle que, pour tout élément x de A, x + J(x) et xJ(x) appartiennent à K. On l'appelle conjugaison de A. Pour tout élément x de A, on appelle conjugué de x et on note l'élément J(x) de A. Pour tout élément x de A, on appelle trace réduite de x et l'on note T(x) l'élément x + de K ; on appelle norme réduite de x et l'on note N(x) l'élément x de K. Exemples Dans H, le conjugué du quaternion q = a + bi + cj + dk est a – bi – cj – dk, la trace de q est 2a et la norme de q est a2 + b2 + c2 + d2. Dans M2(K), le conjugué de la matrice M = est la transposée de sa comatrice : , la trace réduite de M est la trace usuelle a + d de M et la norme réduite de M est le déterminant usuel ad – bc de M.