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Concept
K-théorie algébrique
Résumé
En mathématiques, la K-théorie algébrique est une branche importante de l'algèbre homologique. Son objet est de définir et d'appliquer une suite de foncteurs K de la catégorie des anneaux dans celle des groupes abéliens. Pour des raisons historiques, K et K sont conçus en des termes un peu différents des K pour n ≥ 2. Ces deux K-groupes sont en effet plus accessibles et ont plus d'applications que ceux d'indices supérieurs. La théorie de ces derniers est bien plus profonde et ils sont beaucoup plus difficiles à calculer, ne serait-ce que pour l'anneau des entiers.
Le groupe abélien K(A) généralise la construction du groupe des classes d'idéaux d'un anneau A en utilisant les A-modules projectifs. Il a été développé dans les années 1960 et 1970 — au cours desquelles la « conjecture de Serre » sur les modules projectifs est devenue le — et a été relié à beaucoup d'autres problèmes algébriques classiques. De même, le groupe K(A) est une modification du groupe des unités, en utilisant les matrices élémentaires ; il est important en topologie, en particulier lorsque A est un anneau de groupe, parce qu'un groupe quotient, le , contient la , utilisée en théorie du type simple d'homotopie et de la chirurgie. Le groupe K(A) contient aussi d'autres invariants, comme l'. Depuis les années 1980, la K-théorie algébrique a eu de plus en plus d'applications en géométrie algébrique. Par exemple, la cohomologie motivique lui est intimement liée.
K-théorie#HistoireHistoire de la K-théorie
Alexandre Grothendieck a découvert la K-théorie au milieu des années 1950, comme cadre pour établir sa généralisation de grande envergure du théorème de Riemann-Roch. Quelques années plus tard, Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch ont considéré un analogue, la .
À partir de 1960, on a découvert des applications des K-groupes, en particulier en chirurgie des variétés, et de nombreux autres liens avec des problèmes algébriques classiques.
Un peu plus tard, une branche de la théorie des algèbres d'opérateurs fut développée avec profit, donnant naissance à la et à la .
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