Théorème de représentation de Stone pour les algèbres de Boole

En mathématiques, le théorème de représentation de Stone pour les algèbres de Boole établit une équivalence entre la catégorie des algèbres de Boole et celle des espaces de Stone (espaces compacts totalement discontinus). Cette correspondance a été établie par Marshall Stone en 1936. Soit A une algèbre de Boole. On lui associe l'ensemble S(A) des morphismes , appelé « l'espace de Stone associé à A ». Un tel morphisme définit un ultrafiltre U de A : Réciproquement, un ultrafiltre U de A définit un morphisme h de A de la façon suivante : et On peut donc aussi définir l'espace de Stone S(A) comme étant l'ensemble des ultrafiltres de A. Avec la première définition, S(A) est inclus dans l'ensemble des applications de A dans {0,1}. Cet ensemble, muni de la topologie de la convergence simple est homéomorphe à l'espace produit muni de la topologie produit. D'après le théorème de Tykhonov, cet espace produit est un espace compact. Etant produit d'espaces discrets, il est totalement discontinu. S(A) est donc également totalement discontinu. On montre de plus que S(A) est fermé dans le compact , donc lui-même compact. On montre que, pour tout a de A, la partie est à la fois ouverte et fermée dans S(A), et qu'inversement, tout ouvert-fermé de S(A) est de cette forme. On a donc associé à l'algèbre de Boole A un espace de Stone S(A). Réciproquement, soit X un espace de Stone. On lui associe l'ensemble CO(X) des parties à la fois ouvertes et fermées de X. Cet ensemble est stable par réunion finie, intersection finie et passage au complémentaire. Il contient par ailleurs l'ensemble vide et l'ensemble X lui-même. CO(X) forme donc une algèbre de Boole avec les opérations ensemblistes usuelles. Outre le fait d'associer un espace de Stone S(A) à une algèbre de Boole A, il existe également une association entre les morphismes d'algèbres de Boole et les applications continues entre espaces de Stone. Soit un morphisme d'algèbre de Boole.