Polynôme de Laurent

Un polynôme de Laurent est une généralisation de la notion de polynôme où l'on autorise les puissances de l'indéterminée à être négatives. Introduits par le mathématicien Pierre Alphonse Laurent en 1843 pour l'étude des fonctions, afin de généraliser la série de Taylor au moyen de la série de Laurent, ils apparaissent depuis dans de nombreuses branches des mathématiques et de la physique théorique, en particulier en algèbre, dans l'étude des algèbres de Lie et en relation avec la théorie de Fourier. Soit R un anneau commutatif, un polynôme de Laurent est une expression de la forme : où seul un nombre fini des coefficients est différent de 0. L'ensemble des polynômes de Laurent à coefficients dans un anneau commutatif R est noté ou . Cet ensemble est muni d'une structure d'anneau avec les mêmes opérations que l'anneau des polynômes sur R, l'indice de sommation pouvant prendre des valeurs négatives. En particulier, l'anneau des polynômes de Laurent s'obtient par localisation de l'anneau des polynômes. On a donc les opérations suivantes : Et la structure naturelle de R-module permet de définir la multiplication par un scalaire : est un sous-anneau de . est un sous-anneau de l'anneau des fractions rationnelles . C'est également un sous-anneau du corps des séries de Laurent. L'anneau est un anneau noethérien mais pas artinien. Il est notamment isomorphe, en tant que R-algèbre, à l'algèbre de groupe et hérite donc d'une structure commutative et cocommutative d'algèbre de Hopf. Si K est un corps, alors est un anneau euclidien (comme localisé de ). Soit R un corps, une dérivation sur est: Si est un polynôme de Laurent, alors est encore une dérivation et on peut montrer que c'est la plus générale, au sens que toute dérivation peut s'écrire ainsi. On dispose donc d'une base On peut alors poser un commutateur qui dote cette algèbre des polynômes de Laurent d'une structure d'algèbre de Lie: pour tous entiers i, j, qui n'est autre que l'.