Concept
Hiérarchie analytique
Concepts associés (9)
Arithmétique du second ordre
En logique mathématique, l'arithmétique du second ordre est une théorie des entiers naturels et des ensembles d'entiers naturels. Elle a été introduite par David Hilbert et Paul Bernays dans leur livre Grundlagen der Mathematik. L'axiomatisation usuelle de l'arithmétique du second ordre est notée Z2. L'arithmétique de second ordre a pour conséquence les théorèmes de l'arithmétique de Peano (du premier ordre), mais elle est à la fois plus forte et plus expressive que celle-ci.
Théorie descriptive des ensembles
La théorie descriptive des ensembles est une branche des mathématiques s'intéressant aux ensembles « définissables ». Son principal but est de classifier ces ensembles par complexité. Elle a de nombreux liens avec la théorie des ensembles et a des applications dans de nombreux domaines. Historiquement, les premières questions de la théorie descriptive des ensembles sont apparues à la suite de la découverte d'une erreur par Mikhaïl Souslin en dans une démonstration de Lebesgue.
Hyperarithmetical theory
In recursion theory, hyperarithmetic theory is a generalization of Turing computability. It has close connections with definability in second-order arithmetic and with weak systems of set theory such as Kripke–Platek set theory. It is an important tool in effective descriptive set theory. The central focus of hyperarithmetic theory is the sets of natural numbers known as hyperarithmetic sets. There are three equivalent ways of defining this class of sets; the study of the relationships between these different definitions is one motivation for the study of hyperarithmetical theory.
Pointclass
In the mathematical field of descriptive set theory, a pointclass is a collection of sets of points, where a point is ordinarily understood to be an element of some perfect Polish space. In practice, a pointclass is usually characterized by some sort of definability property; for example, the collection of all open sets in some fixed collection of Polish spaces is a pointclass. (An open set may be seen as in some sense definable because it cannot be a purely arbitrary collection of points; for any point in the set, all points sufficiently close to that point must also be in the set.
Hiérarchie arithmétique
thumb|Illustration de la hiérarchie arithmétique. En logique mathématique, plus particulièrement en théorie de la calculabilité, la hiérarchie arithmétique, définie par Stephen Cole Kleene, est une hiérarchie des sous-ensembles de l'ensemble N des entiers naturels définissables dans le langage du premier ordre de l'arithmétique de Peano. Un ensemble d'entiers est classé suivant les alternances de quantificateurs d'une formule sous forme prénexe qui permet de le définir.
Nombre réel
En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.
Hiérarchie de Borel
La hiérarchie de Borel désigne une description de la tribu des boréliens d'un espace topologique X comme une réunion croissante d'ensembles de parties de X, indexée par le premier ordinal non dénombrable. Soit un ensemble de parties d'un ensemble X. On note : l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de : l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de : Les lettres grecques σ et δ représentent respectivement les mots allemands désignant la réunion (Summe) et l'intersection (Durchschnitt).
Mathématiques à rebours
Les mathématiques à rebours sont une branche des mathématiques qui pourrait être définie simplement par l'idée de « remonter aux axiomes à partir des théorèmes », contrairement au sens habituel (des axiomes vers les théorèmes). Un peu plus précisément, il s'agit d'évaluer la robustesse logique d'un ensemble de résultats mathématiques usuels en déterminant exactement quels axiomes sont nécessaires et suffisants pour les prouver. Le domaine a été créé par Harvey Friedman dans son article « Some systems of second order arithmetic and their use ».
Théorie de la calculabilité
La théorie de la calculabilité (appelée aussi parfois théorie de la récursion) est un domaine de la logique mathématique et de l'informatique théorique. La calculabilité (parfois appelée « computationnalité », de l'anglais computability) cherche d'une part à identifier la classe des fonctions qui peuvent être calculées à l'aide d'un algorithme et d'autre part à appliquer ces concepts à des questions fondamentales des mathématiques. Une bonne appréhension de ce qui est calculable et de ce qui ne l'est pas permet de voir les limites des problèmes que peuvent résoudre les ordinateurs.