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Concept
Hiérarchie de Borel
Résumé
La hiérarchie de Borel désigne une description de la tribu des boréliens d'un espace topologique X comme une réunion croissante d'ensembles de parties de X, indexée par le premier ordinal non dénombrable.
Soit un ensemble de parties d'un ensemble X. On note :
l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de :
l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de :
Les lettres grecques σ et δ représentent respectivement les mots allemands désignant la réunion (Summe) et l'intersection (Durchschnitt).
On note par ailleurs ω le premier ordinal non dénombrable, c'est-à-dire l'ensemble des ordinaux dénombrables.
Soient X un espace topologique métrisable, G l'ensemble de ses ouverts et F l'ensemble de ses fermés (F est l'initiale de « fermé », et G celle de « Gebiet » : « » en allemand).
On initialise une induction transfinie sur l'ordinal α ∈ ω en notant :
Puis, on définit alors par induction transfinie deux familles d'ensembles :
Finalement pour chaque ordinal dénombrable α, on note :
Par exemple :
Δ est l'ensemble des parties de X qui sont à la fois ouvertes et fermées ;
Σ, également noté F, est l'ensemble des unions dénombrables de fermés ;
Π, également noté G, est l'ensemble des intersections dénombrables d'ouverts ;
Σ, également noté G, est l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de Π = G ;
Π, également noté F, est l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de Σ = F.
Les ensembles Σ, Π et Δ sont respectivement appelés classes additives, multiplicatives et ambiguës. La famille ordonnée par inclusion formée par la totalité de ces classes (pour α ∈ ω) est appelée la hiérarchie de Borel.
Les classes additives sont closes par unions dénombrables, et les classes multiplicatives sont closes par intersections dénombrables.
Pour chaque ordinal dénombrable α, les éléments de Σ sont les complémentaires des éléments de Π.
Pour tout ordinal dénombrable α, Δ est une algèbre d'ensembles.
Les classes de la hiérarchie de Borel sont emboitées les unes dans les autres comme indiqué sur le schéma ci-dessous, les flèches symbolisant l'inclusion :
Dans X (espace métrisable), tout fermé est un G (et, trivialement, un F).
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