Somme de Gauss

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, une somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini Z/pZ où p désigne un nombre premier impair et Z l'ensemble des entiers relatifs. Elles ont été introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801. On peut citer par exemple une démonstration de la loi de réciprocité quadratique. Dans cet article, p désigne un nombre premier impair, Fp le corps fini Z/pZ et Fp* le groupe multiplicatif de ses éléments non nuls. En termes de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe G(χ, ψ) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à Fp par l'égalité χ(0) = 0 et l'application qui à ψ associe G(χ, ψ) comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à Fp*. L'analyse harmonique permet de nombreux calculs sur les sommes de Gauss ; ce paragraphe propose quelques exemples. Si m est un entier premier à p, alorsEn effet, la définition d'une somme de Gauss implique :Par le changement de variable u = mk, on a donc bien : Si les deux caractères χ et ψ sont non triviaux, alorsEn effet, la définition d'une somme de Gauss implique :Par le changement de variable u = kl, on obtient :Or la somme des valeurs du caractère additif l ↦ ψ((u + 1)l) est nulle sauf lorsque ce caractère est trivial, c'est-à-dire lorsque u = –1. On en déduit :De même, la somme des valeurs du caractère multiplicatif non trivial χ est nulle, ce qui termine la démonstration. Cette seconde propriété possède le corollaire immédiat suivant : Loi de réciprocité quadratique La loi s'exprime de la manière suivante si q est aussi un nombre premier impair, distinct de p : somme quadratique de Gauss Plus généralement, Gauss a démontré en 1801 les égalités suivantes au signe près pour tout entier n > 0 : conjecturant alors que même les signes étaient exacts pour ce choix particulier ω = exp(2πi/n), et ce n'est qu'au bout de quatre ans d'efforts incessants qu'il est parvenu à résoudre cette conjecture.