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Concept
Méthode de Romberg
Résumé
En analyse numérique, la méthode d'intégration de Romberg est une méthode récursive de calcul numérique d'intégrale, fondée sur l'application du procédé d'extrapolation de Richardson à la méthode des trapèzes. Cette technique d'accélération permet d'améliorer l'ordre de convergence de la méthode des trapèzes, en appliquant cette dernière à des divisions dyadiques successives de l'intervalle d'étude et en formant une combinaison judicieuse.
On souhaite calculer l'intégrale d'une fonction f supposée régulière sur [a,b] en subdivisant [a,b] en n sous-intervalles identiques, du type pour et . La méthode des trapèzes, notée T(n), est définie à l'aide de cette grille régulière :
où les pondérations sont égales à 1 pour les points extrêmes, et à 2 pour les autres. La méthode est dite d’ordre 1, car donne un résultat exact pour un polynôme de degré 1. D'après la formule d'Euler-Maclaurin, l'erreur commise, notée , vérifie
où les coefficients c ne dépendent pas du pas h choisi, et seules les puissances paires de h apparaissent. Cette propriété (qui est aussi partagée avec la méthode du point médian) sera avantageusement exploitée, pour supprimer, un à un les termes de l'erreur, à l'aide de l'extrapolation de Richardson.
Des manipulations algébriques fournissent une approximation de I en . Pour ce faire, il s'agit d'éliminer le terme en h dans le développement de l'erreur. On y parvient en considérant la quantité [4 T(n) – T(n/2)]/3, qui correspond précisément à la méthode de Simpson. Le même procédé peut être reconduit, permettant ainsi d'annuler successivement les termes en , conduisant ainsi à des approximations de I qui sont de plus en plus précises.
Formalisations de la technique précédente de réduction de l'erreur :
Initialisations :
soit le résultat de la méthode des trapèzes basée sur
Récurrence :
On montre par récurrence que l'approximation à l’étape n, soit R(n,n), fournit une approximation de I qui est en , ceci à condition que la fonction soit de classe (ou ). Le calcul de R(n,n) est exact pour les polynômes de degré 2 n + 1 : elle est d’ordre 2n + 1.
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