Somme de Riemann

Résumé

En mathématiques, et plus précisément en analyse, les sommes de Riemann sont des sommes finies approchant des intégrales. En pratique, elles permettent de calculer numériquement des aires sous la courbe de fonctions ou des longueurs d'arcs, ou inversement, de donner une valeur à des suites de sommes. Elles peuvent également être utilisées pour définir la notion d'intégration. Leur nom vient du mathématicien allemand Bernhard Riemann. L'idée directrice derrière la construction des sommes revient à approcher la courbe par une fonction constante par morceaux, avec des valeurs choisies de sorte à approcher au mieux la fonction originelle, puis à additionner les aires des rectangles ainsi formés, et enfin réduire la largeur de ces rectangles. C'est la mise en application de l'intégrale de Riemann. Définition du cas le plus usuel Soit f:[a,b]\rightarrow\R une fonction définie en tout point du segment [a , b]. On se donne une subdivision marquée σ = (a = x < x <

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_de_Riemann

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We study the fundamental concepts of analysis, calculus and the integral of real-valued functions of a real variable.

This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex domains under discontinuous group actions, as algebraic curves.

Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles d'une variable.

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On A Model For Mass Aggregation With Maximal Size

Ondrej Budác, Andrej Spielmann

We study a kinetic mean-field equation for a system of particles with different sizes, in which particles are allowed to coagulate only if their sizes sum up to a prescribed time-dependent value. We prove well-posedness of this model, study the existence of self-similar solutions, and analyze the large-time behavior mostly by numerical simulations. Depending on the parameter k(0), which controls the probability of coagulation, we observe two different scenarios: For k(0) > 2 there exist two self-similar solutions to the mean field equation, of which one is unstable. In numerical simulations we observe that for all initial data the rescaled solutions converge to the stable self-similar solution. For k(0) < 2, however, no self-similar behavior occurs as the solutions converge in the original variables to a limit that depends strongly on the initial data. We prove rigorously a corresponding statement for k(0) is an element of (0, 1/3). Simulations for the cross-over case k(0) = 2 are not completely conclusive, but indicate that, depending on the initial data, part of the mass evolves in a self-similar fashion whereas another part of the mass remains in the small particles.

2011

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We prove trace identities for commutators of operators, which are used to derive sum rules and sharp universal bounds for the eigenvalues of periodic Schrodinger operators and Schrodinger operators on immersed manifolds. In particular, we prove bounds on the eigenvalue lambda(N+1) in terms of the lower spectrum, bounds on ratios of means of eigenvalues, and universal monotonicity properties of eigenvalue moments, which imply sharp versions of Lieb-Thirring inequalities. In the case of a Schrodinger operator on an immersed manifold of dimension d, we derive a version of Reilly's inequality bounding the eigenvalue lambda(N+1) of the Laplace-Beltrami operator by a universal constant times vertical bar vertical bar h vertical bar N-2(infinity)2/d.

2011

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We consider sums of oscillating functions on intervals in cyclic groups of size close to the square root of the size of the group. We first prove non-trivial estimates for intervals of length slightly larger than this square root (bridging the "Polya-Vinogradov gap" in some sense) for bounded functions with bounded Fourier transforms. We then prove that the existence of non-trivial estimates for ranges slightly below the square-root bound is stable under the discrete Fourier transform. We then give applications related to trace functions over finite fields.

Annales Inst Fourier2017

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