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Concept
Méthode des trapèzes
Résumé
En analyse numérique, la méthode des trapèzes est une méthode pour le calcul numérique d'une intégrale s'appuyant sur l'interpolation linéaire par intervalles.
Le principe est d'assimiler la région sous la courbe représentative d'une fonction f définie sur un segment [a , b] à un trapèze et d'en calculer l'aire T :
En analyse numérique l'erreur est par convention la différence entre la valeur exacte (limite) et son approximation par un nombre fini d'opérations. ()..
L'erreur d'approximation par un polynôme de Taylor est le reste de la série de Taylor, et l'erreur de quadrature est l'aire totale sous la courbe moins la somme des aires des trapèzes .
En métrologie, l'erreur est définie comme la différence entre valeur approchée et valeur réelle, soit l'opposé de l'erreur définie dans cet article, qui, en métrologie, porte le nom de correction.
Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment [a , b], l'erreur
est de la forme
pour un certain (méthode du premier ordre).
Dans le cas d'une fonction convexe (dérivée seconde positive), l'aire du trapèze est donc une valeur approchée par excès de l'intégrale.
Pour obtenir de meilleurs résultats, on découpe l'intervalle [a , b] en n intervalles plus petits et on applique la méthode sur chacun d'entre eux. Bien entendu, il suffit d'une seule évaluation de la fonction à chaque nœud :
Le terme R(f) est l'erreur de quadrature et vaut :
pour un
La méthode des trapèzes revient à estimer l'intégrale d'une fonction comme l'intégrale de son interpolation linéaire par intervalles.
Voici le découpage d'une fonction f que l'on veut intégrer sur l'intervalle [0 ; 2]
Découpage pour différentes valeurs de n (2,8 et 16).
Théorème : Si f est 2 fois continûment différentiable sur [a , b], la méthode des trapèzes est convergente sur .
Théorème : La méthode des trapèzes est stable pour les méthodes composites (à intervalles multiples).
La méthode des trapèzes est la première des formules de Newton-Cotes, avec deux nœuds par intervalle.
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