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Concept
Règle d'introduction (logique)
Résumé
Les règles d'introduction des connecteurs (disjonction, conjonction, implication, négation, etc.) sont des règles d'inférence que l'on trouve dans le calcul des séquents et la déduction naturelle. Elles jouent un rôle fondamental dans la description de ces systèmes, car elles permettent d'expliquer comment les connecteurs sont « introduits » dans le cours d'une démonstration. En dehors des règles structurelles, le calcul des séquents ne contient que des règles d'introduction et aucune règle d'élimination.
Les règles d'introduction ont été présentées pour la première fois par Gentzen en 1934 dans son article fondateur Recherches sur la déduction logique sous le nom allemand « Einführung », qui veut précisément dire introduction.
Un séquent Γ ⊢ Δ est une expression logique qui se lit « du multiensemble Γ de formules on déduit le multiensemble Δ de formules ». rappelons qu'une règle d'inférence explique comment d'une famille de séquents (les prémisses) on peut déduire un séquent (la conclusion). Les règles d'introduction ont pour but de « complexifier » les formules de base, pour démontrer les propositions les plus générales.
Soit un connecteur ★, une règle d'introduction de ★ se présente sous la forme suivante. C'est en particulier la forme qu'elle a en (déduction naturelle):
Les points représentent une ou plusieurs démonstrations de propositions et ces propositions sont, soit A, soit B et ne sont pas, a priori, la proposition A ★ B, qui doit être « introduite ».
En calcul des séquents, on peut introduire le nouveau connecteur, soit à droite, soit à gauche du symbole ⊢.
Par exemple, étant donné un connecteur ★, la règle d'inférence d'introduction à droite de ★ a la forme
où les antécédents de la règle sont constitués de séquents qui contiennent les propositions de Γ et de Δ ainsi que la proposition A et la proposition B.
En calcul des séquents, l'introduction à gauche se présente ainsi:
Ces règles ont toutes une justification par une proposition logique valide, ainsi l'introduction du ∧ se justifie par la proposition , tandis que les introduction du ∨ se justifient par les propositions et .
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