Zonoèdre

Un zonoèdre est un polyèdre convexe où chaque face est un polygone ayant un centre de symétrie. Tout zonoèdre peut être décrit de manière équivalente comme la somme de Minkowski d'un ensemble de segments de droite dans un espace tridimensionnel, ou comme la projection tridimensionnelle d'un hypercube. Les zonoèdres ont été définis à l'origine et étudiés par Evgraf Fedorov, un cristallographe russe. La motivation originale pour l'étude des zonoèdres réside dans le fait que le diagramme de Voronoï d'un réseau quelconque forme un dans lequel les cellules sont des zonoèdres. Un zonoèdre quelconque formé de cette manière peut paver l'espace tridimensionnel et est appelé un primaire. Chaque paralléloèdre primaire est équivalent combinatoirement à un des cinq types : le cube, le prisme hexagonal, l'octaèdre tronqué, le dodécaèdre rhombique et le . Soit {v0, v1, ...}, une collection de vecteurs tridimensionnels. Avec chaque vecteur vi, nous pouvons associer un segment {xivi|0≤xi≤1}. La somme de Minkowski : {Σxivi|0≤xi≤1} forme un zonoèdre, et tous les zonoèdres qui contiennent l'origine ont cette forme. Les vecteurs à partir desquels le zonoèdre est formé sont appelés ses générateurs. Cette caractérisation permet de généraliser la définition des zonoèdres en dimensions plus élevées, donnant les zonotopes. Chaque arête, dans un zonoèdre est parallèle à au moins un des générateurs, et possède une longueur égale à la somme des longueurs des générateurs avec lesquels il est parallèle. Par conséquent, en choisissant un ensemble de générateurs sans paires des vecteurs parallèles, et en fixant les longueurs de tous les vecteurs égales, nous pouvons former une version équilatérale d'un zonoèdre de type combinatoire quelconque. En choisissant des ensembles de vecteurs avec de hauts degrés de symétrie, nous pouvons former de cette manière des zonoèdres avec au moins autant de symétries.